Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 561
Из последовательности натуральных чисел $1, 2, 3, \ldots$ удалили все точные квадраты (квадраты целых чисел). Какое число будет находиться на $2000$ месте среди оставшихся?
Ответ:
Решение:
Из последовательности натуральных чисел $1, 2, 3, \ldots$ удалили все точные квадраты (квадраты целых чисел). Какое число будет находиться на $2600$ месте среди оставшихся?
Ответ:
Решение:
Множество $A$ состоит из натуральных чисел $n$, делящихся на $[\sqrt[3]{n}]$. Здесь $[x]$ — целая часть числа $x$, то есть наибольшее целое число, не превышающее $x$. Найдите количество чисел из отрезка $[25,2025]$, принадлежащих множеству $A$.
Ответ:
Решение:
Будем обозначать $\text{Окр}(x)$ результат округления числа до ближайшего целого по стандартным математическим правилам, например, \[ \text{Окр}(3{,}14)=3,\quad \text{Окр}(2{,}71)=3,\quad \text{Окр}(4{,}5)=5. \] Задана последовательность чисел \[ a_n=n+\text{Окр}(\sqrt n),\quad n=1,2,\ldots \] Существует ли в этой последовательности участок, состоящий из $2026$ последовательных натуральных чисел?
Если такого участка нет, в ответе укажите $0$. Если такой участок существует, в ответе укажите наименьшее значение $k$, для которого $a_k, a_{k+1}, \ldots, a_{k+2025}$ являются последовательными натуральными числами.
Если такого участка нет, в ответе укажите $0$. Если такой участок существует, в ответе укажите наименьшее значение $k$, для которого $a_k, a_{k+1}, \ldots, a_{k+2025}$ являются последовательными натуральными числами.
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее натуральное $N$ такое, что $N+2$ делится (без остатка) на 2, $N+3$ — на 3, $\ldots$, $N+10$ — на 10.
Ответ:
Решение:
На цветочном рынке Маша купила $156$ хризантем, $312$ тюльпанов и $390$ роз. Какое наибольшее количество одинаковых букетов сможет составить Маша из этих цветов, чтобы все цветы были полностью израсходованы? (Букеты считаются одинаковыми, если в каждом из них одинаковое число цветов каждого наименования.)
Ответ:
Решение:
Известно, что $4001$ — простое число. Найдите все натуральные $n$, при которых \[ n(n+4001) \] является квадратом натурального числа.
Ответ:
Решение:
Найдите наибольшее натуральное число, которое невозможно представить в виде суммы двух составных чисел.
Ответ:
Решение:
Назовем число замечательным, если оно имеет ровно 4 различных натуральных делителя, причем среди них найдутся два таких, что ни один не кратен другому. Сколько существует замечательных двузначных чисел?
Ответ:
Решение:
Назовем число изумительным, если оно имеет ровно 3 различных нечётных натуральных делителя (и произвольное количество чётных). Сколько существует изумительных двузначных чисел?
Ответ:
Решение:
Найдите такое наименьшее натуральное число, что его половина есть пятая степень некоторого целого числа, а пятая часть есть квадрат некоторого целого числа.
Ответ:
Решение:
Найдите количество натуральных чисел, которые делятся на $2012$ и имеют, не считая единицы и самого этого числа, ровно $2199$ различных делителей.
Ответ:
Решение:
Даны $n$ различных составных натуральных чисел $a_1,\ldots,a_n$, принадлежащих интервалу $(1;2013)$. Известно, что для любых двух различных чисел $a_i$, $a_j$ из этого набора выполнено условие $\text{НОД}(a_i,a_j)=1$.
а) Приведите пример такого набора для $n=14$.
б) Докажите, что не существует такого набора, содержащего 15 чисел.
а) Приведите пример такого набора для $n=14$.
б) Докажите, что не существует такого набора, содержащего 15 чисел.
Ответ:
Решение:
Число $2015$ можно представить в виде суммы последовательных целых чисел различным образом, например $2015=1007+1008$ или $2015=401+402+403+404+405$. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ:
Решение:
Даны $2015$ попарно взаимно простых натуральных чисел, не превосходящих $10^7$. Могут ли они все быть составными?
Ответ:
Решение:
Найдите все пары простых чисел $p$ и $q$, для которых выполнено равенство \[ p^q-q^p+3=2^{p-1}. \]
Напоминаем, что «простыми» называют натуральные числа, отличные от $1$, которые делятся только на $1$ и на само себя.
Ответ:
Решение:
Сколько существует различных квадратных трехчленов \[ f(x)=x^2+px+q \] с целыми коэффициентами $p$, $q$, для которых выполнены два условия:
1. $f(2023)=2025^{24}$;
2. уравнение $f(x)=0$ имеет целый корень.
1. $f(2023)=2025^{24}$;
2. уравнение $f(x)=0$ имеет целый корень.
Ответ:
Решение:
Для натурального числа $N$ выписали все его натуральные делители $p_l$ в порядке возрастания: $1=p_1\lt p_2\lt \ldots\lt p_k=N$. Обозначим количество натуральных делителей числа $N$ через $\sigma(N)$. Найдите все возможные значения $\sigma(N^3)$, если известно, что \[ p_3\cdot p_4\cdot p_{1876}\cdot p_{1877}\geqslant N^2. \]
Ответ:
Решение:
Для некоторого натурального $k$ десятичная запись числа $k^2+6k$ заканчивается цифрой 6. Найдите все значения, которые может принимать предпоследняя цифра этой записи.
Ответ:
Решение: