Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 383
Верхней целой частью числа $x$ называют наименьшее целое число, большее или равное $x$. Существует ли такое число $A$, что для любого натурального $n$ расстояние от верхней целой части $A^n$ до ближайшего квадрата натурального числа всегда равно 2?
Ответ:
Решение:
Докажите, что в таблице $8\times8$ нельзя расставить натуральные числа от $1$ до $64$ (каждое по одному разу) так, чтобы в ней для любого квадрата $2\times2$ вида \[\begin{array}{|c|c|}\hline a&b\\\hline c&d\\\hline\end{array}\] было выполнено равенство $|ad-bc|=1$.
Ответ:
Решение:
Петя загадал положительную несократимую дробь $x=\dfrac{m}{n}$. За один ход Вася называет положительную несократимую дробь $y$, не превосходящую 1, и Петя в ответ сообщает Васе числитель несократимой дроби, равной сумме $x+y$. Как Васе за два хода гарантированно узнать $x$?
Ответ:
Решение:
Докажите, что при любых натуральных $0\lt k\lt m\lt n$ числа $C_n^k$ и $C_n^m$ не взаимно просты. ($C_n^k=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ — число способов выбрать $k$ элементов из $n$ различных элементов без учёта порядка.)
Ответ:
Решение:
Пусть $p$ и $q$ — взаимно простые натуральные числа. Лягушка прыгает по числовой прямой, начиная в точке 0, каждый раз либо на $p$ вправо, либо на $q$ влево. Однажды лягушка вернулась в 0. Докажите, что для любого натурального $d\lt p+q$ найдутся два числа, посещённые лягушкой и отличающиеся на $d$.
Ответ:
Решение:
Назовём натуральное $N\gt 1$ хорошим, если найдутся такие натуральные числа $a_1, \ldots, a_N$, что наибольшие общие делители всевозможных пар из них образуют $\dfrac{N(N-1)}{2}$ последовательных натуральных чисел. Существует ли хорошее натуральное число, большее $10^{100}$?
Ответ:
Решение:
По целому числу $a$ построим последовательность \[ a_1=a,\quad a_2=1+a_1,\quad a_3=1+a_1a_2,\quad a_4=1+a_1a_2a_3,\quad \ldots \] (каждое следующее число на $1$ превосходит произведение всех предыдущих). Докажите, что разности её соседних членов $(a_{n+1}-a_n)$ — квадраты целых чисел.
Ответ:
Решение:
Дана функция $f(x)$, значение которой при любом целом $x$ целое. Известно, что для любого простого числа $p$ существует такой многочлен $Q_p(x)$ степени, не превышающей $2013$, с целыми коэффициентами, что $f(n)-Q_p(n)$ делится на $p$ при любом целом $n$. Верно ли, что существует многочлен $g(x)$ с вещественными коэффициентами такой, что $g(n)=f(n)$ для любого целого $n$?
Ответ:
Решение:
Существуют ли такие натуральные числа $m$ и $n$ и такой многочлен $f(x)$ с целыми коэффициентами, что $f(m)$ не делится на $n$, но $f(p^k)$ делится на $n$ для любого простого числа $p$ и любого натурального $k$?
Ответ:
Решение:
Будем называть натуральное число $N$ сильно кубическим, если существует такой приведённый кубический многочлен $f(x)$ с целыми коэффициентами, что $f(f(f(N)))=0$, а $f(N)$ и $f(f(N))$ не равны $0$. Верно ли, что все числа, большие $20^{24}$, сильно кубические?
Ответ:
Решение:
Найдите наибольшее натуральное $n$, обладающее следующим свойством: для любого простого нечётного $p$, меньшего $n$, разность $n-p$ также является простым числом.
Ответ:
Решение:
Можно ли расставить девять различных целых чисел в клетки таблицы $3\times 3$ так, чтобы произведение чисел в каждой строке равнялось $2025$ и произведение чисел в каждом столбце тоже равнялось $2025$?
Ответ:
Решение:
Для каждого простого $p$ найдите наибольшую натуральную степень числа $p!$, на которую делится число $(p^2)!$.
Ответ:
Решение:
Найдите все пары простых чисел $p$ и $q$, обладающие следующим свойством: $7p+1$ делится на $q$, а $7q+1$ делится на $p$.
Ответ:
Решение:
Существует ли такая гипербола, задаваемая уравнением вида $y=\dfrac{a}{x}$, что в первой координатной четверти ($x\gt 0$, $y\gt 0$) под ней лежат ровно 82 точки с целочисленными координатами?
Ответ:
Решение:
У математика есть 19 различных гирь, массы которых в килограммах равны $\ln 2$, $\ln 3$, $\ln 4$, $\ldots$, $\ln 20$, и абсолютно точные двухчашечные весы. Он положил несколько гирь на весы так, что установилось равновесие. Какое наибольшее число гирь могло оказаться на весах?
Ответ:
Решение:
Дано несколько белых и несколько чёрных точек. Из каждой белой точки идёт стрелка в каждую чёрную, на каждой стрелке написано натуральное число. Известно, что если пройти по любому замкнутому маршруту, то произведение чисел на стрелках, идущих по направлению движения, равно произведению чисел на стрелках, идущих против направления движения. Обязательно ли тогда можно поставить в каждой точке натуральное число так, чтобы число на каждой стрелке равнялось произведению чисел на её концах?
Ответ:
Решение:
Дано натуральное число $n\gt 1$. Назовём положительную обыкновенную дробь (не обязательно несократимую) хорошей, если сумма её числителя и знаменателя равна $n$. Докажите, что любую положительную обыкновенную дробь, знаменатель которой меньше $n$, можно выразить через хорошие дроби (не обязательно различные) с помощью операций сложения и вычитания тогда и только тогда, когда $n$ — простое число. Напомним, что обыкновенная дробь — это отношение целого числа к натуральному.
Ответ:
Решение:
Радикалом натурального числа $N$ (обозначается $\operatorname{rad}(N)$) называется произведение всех простых делителей числа $N$, взятых по одному разу. Например, $\operatorname{rad}(120)=2\cdot 3\cdot 5=30$. Существует ли такая тройка попарно взаимно простых натуральных чисел $A$, $B$, $C$, что $A+B=C$ и $C\gt 1000\cdot\operatorname{rad}(ABC)$?
Ответ:
Решение:
Назовём набор из $k$ последовательных натуральных чисел хорошим, если можно у каждого из этих чисел выбрать по простому делителю так, чтобы у всяких двух разных чисел были выбраны разные делители. В противном случае назовём набор плохим. При всяком ли натуральном $k$ количество плохих наборов из $k$ последовательных натуральных чисел конечно?
Ответ:
Решение: