Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 331
Три графика параболы $y=Cx^2$ повернули и состыковали так, что получился равносторонний симметричный «треугольник» с нулевыми углами. Найдите радиус вписанной в этот «треугольник» окружности, если измеренное по прямой расстояние между соседними вершинами треугольника равно 1.
Ответ:
Решение:
Вовочке вместо обычной тетради в клетку досталась тетрадь, у которой линии сетки являются параболами вида \[ y=\pm x^2+c,\quad\text{где } c\in\mathbb{Z}. \] Система координат, в которой написаны эти уравнения, имеет начало в центре листа, её оси параллельны его сторонам, а единичный отрезок равен 1 см. Размер тетрадной страницы (высота $\times$ ширина) равен $210\times 297$ мм.
Клеточкой называется часть листа, со всех сторон ограниченная параболами и не пересекаемая другими параболами. Вовочка последовательно соединяет по прямой соседние вершины каждой клеточки, в результате чего у него получаются четырехугольники. Найдите наибольшую из площадей получившихся у Вовочки четырёхугольников (внутри которых нет никаких проведённых Вовочкой линий).
Клеточкой называется часть листа, со всех сторон ограниченная параболами и не пересекаемая другими параболами. Вовочка последовательно соединяет по прямой соседние вершины каждой клеточки, в результате чего у него получаются четырехугольники. Найдите наибольшую из площадей получившихся у Вовочки четырёхугольников (внутри которых нет никаких проведённых Вовочкой линий).
Ответ:
Решение:
Найдите наибольшее значение функции \[ f(x)=\sin(x+\sin x)+\sin(x-\sin x)+\Bigl(\dfrac{\pi}{2}-2\Bigr)\sin\sin x. \]
Ответ:
Решение:
При каждом натуральном $n$ тело $\Phi_n$ в координатном пространстве задано неравенством \[ 3|x|^n+|8y|^n+|z|^n\lt 1, \] а тело $\Phi$ — объединение всех тел $\Phi_n$. Найдите объём тела $\Phi$.
Ответ:
Решение:
Основанием прямой призмы $ABCA'B'C'$ служит прямоугольный треугольник с катетами $AB=3$ и $AC=4$. Через середину бокового ребра $BB'=10$ параллельно $AC$ проведена прямая $l$. Какие значения может принимать площадь параллелограмма, у которого две вершины — точки $A$ и $B$, а остальные вершины лежат на прямых $A'C$ и $l$ соответственно?
Ответ:
Решение:
Функция $y=f(x)$ такова, что $f\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=\frac{1}{x-1}$. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции \[ g(x)=\underbrace{f(f(\ldots f(x)))}_{10} \] в точке $x=0$.
Ответ:
Решение:
Проекции некоторой кривой в координатном пространстве на плоскости $Oxz$ и $Oyz$ удовлетворяют уравнениям $5x+\cos z=0$ и $z=\mathrm{arctg}\sqrt{y-3}$ соответственно. Найдите функцию $y=f(x)$, график которой состоит из тех и только тех точек, которые могли бы при этих условиях служить проекциями точек той же кривой на плоскость $Oxy$.
Ответ:
Решение:
Есть функция \[ f(x)=\frac{1}{\sqrt[5]{1-x^5}}. \] Вычислите \[ f(f(f(f(f(\ldots f(2022))))\ldots)), \] где функция $f$ применяется 1303 раза.
Ответ:
Решение:
Для любого натурального $n$ и для любого набора чисел $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$ из отрезка $[0;3]$ уравнение \[ \sum_{i=1}^{n}|x-x_i|=an \] имеет решение $x$, принадлежащее отрезку $[0;3]$. Укажите, какие из следующих значений $a$ удовлетворяют этому условию: a) $a=0$; b) $a=\dfrac32$; c) $a=2$.
Ответ:
Решение:
На основании $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ взята точка $E$, а на боковых сторонах $AB$ и $BC$ точки $D$ и $F$ так, что $DE\parallel BC$ и $EF\parallel AB$. Какую часть площади треугольника $ABC$ занимает площадь треугольника $DEF$, если $BF:EF=2:3$?
Ответ:
Решение:
Дан параллелограмм $ABCD$ и выбраны точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $D_1$ такие, что точка $A$ является серединой отрезка $DD_1$, точка $B$ — серединой $AA_1$, точка $C$ — серединой $BB_1$ и точка $D$ — серединой $CC_1$. Найдите площадь $A_1B_1C_1D_1$, если известно, что $S(ABCD)=1$.
Ответ:
Решение:
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ площади треугольников $ABD$ и $BCD$ равны, а площадь $ACD$ равна половине площади $ABD$. Найдите длину отрезка $CM$, где $M$ — середина стороны $AB$, если известно, что $AD=12$.
Ответ:
Решение:
На стороне $AC$ треугольника $ABC$ взяты точки $E$ и $K$, причём точка $E$ лежит между точками $A$ и $K$ и $AE:EK:KC=3:5:4$. Медиана $AD$ пересекает отрезки $BE$ и $BK$ в точках $L$ и $M$ соответственно. Найдите отношение площадей треугольников $BLM$ и $ABC$.
Ответ:
Решение:
Лёшин дачный участок имеет форму девятиугольника, у которого есть три пары равных и параллельных сторон (см. рисунок). Лёша знает, что площадь треугольника с вершинами в серединах оставшихся сторон девятиугольника равна 12 соток. Помогите ему найти площадь всего дачного участка.
Ответ:
Решение:
На вертикальной плоскости, изображающей стену, нарисована горизонтальная прямая, изображающая пол. На полу стоит свежеокрашенный квадрат со стороной $1$. Его кантуют (поворачивают на $90^\circ$, опираясь на одну из вершин). И так — четыре раза, пока он не будет стоять на той же стороне, что и вначале. При этом квадрат всё время касался стены, так что часть её оказалась окрашенной (или испачканной). Аналогичную процедуру проделали на другой стене, но квадрат был с диагональю длины $1$, а прокантовали его $7$ раз. На сколько меньшую площадь удалось окрасить (испачкать) во втором случае?
Ответ:
Решение:
На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отмечены такие точки $M$ и $N$, что $\angle ABM=15^\circ$, $\angle MBN=45^\circ$ и $\angle NBC=75^\circ$, а сумма и произведение площадей треугольников $ABM$ и $NBC$ равны 5 и 3 соответственно. Найдите площадь треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Две кольцевые трассы $\alpha$ и $\beta$ одинакового радиуса касаются друг друга. По трассе $\alpha$ по часовой стрелке едет автомобиль $A$, по трассе $\beta$ против часовой стрелки едет автомобиль $B$. В момент старта автомобили $A$ и $B$ находятся на одной прямой с центром трассы $\alpha$, причём эта прямая касается трассы $\beta$. После старта автомобили начинают приближаться к точке касания трасс. Каждый автомобиль проезжает полный круг по своей трассе за один час (и никогда не переезжает на другую трассу). Сколько времени из этого часа расстояние между автомобилями будет не меньше диаметра каждой трассы?
Ответ:
Решение:
Газонокосильщик участвует в гонке по трассе указанной формы (состоит из двух дуг окружностей и касающихся их прямых, радиусы окружностей 4 и 1, расстояние между центрами окружностей равно 6). Саму косилку можно считать маленькой, точкой. Скошенную траву она отбрасывает на расстояние 1.5 в сторону, направо, перпендикулярно направлению своего движения. Косилка ездит по часовой стрелке, соответственно, скошенная трава окажется внутри трассы. После того, как газонокосильщик завершил круг, внутри трассы вырисовалась замкнутая дорожка из скошенной травы. Найдите её длину.
Ответ:
Решение:
Вася нарисовал на доске замкнутую кривую $ABCD$, состоящую из четырёх звеньев: $AB$ — дуга окружности, меньшая полуокружности, $BC$ — отрезок, $CD$ — дуга окружности, большая полуокружности, $DA$ — отрезок, таким образом, что любые два соседних звена перпендикулярны друг другу. Петя нарисовал кривую данного вида так, чтобы длины всех звеньев совпадали. Какие тогда будут углы у дуг $AB$ и $DC$? Примечание: прямая перпендикулярна дуге окружности, если прямая перпендикулярна касательной к окружности.
Ответ:
Решение:
В прямоугольнике $ABDF$ на сторонах $BD=2$ и $DF=3$ выбрали точки $C$ и $E$ соответственно, так, что треугольник $AFE$ равен треугольнику $EDC$. Потом от прямоугольника $ABDF$ отрезали треугольники $ABC$, $CDE$ и $AFE$. Найдите углы оставшегося треугольника.
Ответ:
Решение: