Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 331
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнения\[x^2+ax+2012=0\quad\text{и}\quad x^2+2012x+a=0\]имеют хотя бы один общий корень.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $a$, при каждом из которых сумма модулей корней квадратного трёхчлена $x^2-5ax+4a$ равна 3.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $a$, при каждом из которых оси координат и гипербола $y=\dfrac1x$ высекают на прямой $y=-18x+a$ три отрезка равной длины.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно. Найдите длину стороны $AC$, если известно, что сумма векторов $3\cdot\overrightarrow{AA_1}+4\cdot\overrightarrow{BB_1}+5\cdot\overrightarrow{CC_1}$ равна вектору с координатами $(2,1)$.
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ множество решений неравенства \[ \frac{1}{a}+\frac{2x}{a^2}-\frac{3x^2}{a^3}\leqslant 0 \] (относительно неизвестной $x$) представляет собой отрезок длиной 2026?
Ответ:
Решение:
Про функцию $y=f(x)$ известно, что она определена и непрерывна на всей числовой прямой, нечётна и периодична с периодом 5, а также что $f(-1)=f(2)=-1$. Какое наименьшее число корней может иметь уравнение $f(x)=0$ на отрезке $[1755;2017]$?
Ответ:
Решение:
Функция $f(t)$ с областью определения $D(f)=[1;+\infty)$ удовлетворяет уравнению \[ f\left(\frac{2^y+2^{-y}}{2}\right)=y \] для любого $y\leqslant0$. Для каждого значения $b\neq0$ найти все решения неравенства $f\left(\frac{3b}{x+b}\right)\geqslant-2$.
Ответ:
Решение:
Какие значения может принимать выражение \[ \log_{b_{11}b_{50}} b_1b_2\ldots b_{60}, \] где $b_1$, $b_2$, $\ldots$ — геометрическая прогрессия?
Ответ:
Решение:
Числа 54 и 128 являются членами геометрической прогрессии. Найдите все натуральные числа, которые могут встретиться в этой прогрессии.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Найдите все решения неравенства \[ \Bigl(\log_{\frac{\pi}{6}}(2x-5)-\log_{\frac{\pi}{6}}(7-2x)\Bigr)\Bigl(\cos\Bigl(x+\dfrac74\Bigr)-\cos(2x-1)\Bigr)\bigl(|x-4|-|2x-5|\bigr)\geqslant 0. \]
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $x$, при каждом из которых среднее из трёх чисел\[a=x^3-100x,\quad b=x^4-16,\quad c=x+20-x^2\]положительно (средним из трёх данных чисел $a$, $b$, $c$ называется число $v$ в тройке $u\leqslant v\leqslant w$, получаемой в результате упорядочения данных чисел по нестрогому возрастанию).
Ответ:
Решение:
Если действительные числа $a$, $b$, $c$ упорядочить по нестрогому возрастанию, получив тройку $x_1\leqslant x_2\leqslant x_3$, то число $x_2$ будем называться средним из чисел $a$, $b$, $c$. Найдите все значения $t$, при каждом из которых среднее из трёх чисел \[ a=t^3-100t;\quad b=2^t-16;\quad c=\sin t-\frac12 \] положительно.
Ответ:
Решение:
Из шара какого наименьшего радиуса можно вырезать правильную четырёхугольную пирамиду с ребром основания 16 и боковым ребром 15?
Ответ:
Решение:
В прямой круговой конус, радиус основания которого равен $2$, вписан шар. Найдите объём этого шара, если он в три раза меньше объёма конуса.
Ответ:
Решение:
Угол при вершине в осевом сечении конуса равен $60^\circ$. Снаружи этого конуса расположены 11 шаров радиуса 3, каждый из которых касается двух соседних шаров, боковой поверхности конуса и плоскости его основания. Найдите радиус основания конуса.
Ответ:
Решение:
В треугольной пирамиде $SABC$ ребро $SA$ перпендикулярно плоскости $ABC$, $\angle SCB=90^\circ$, $BC=\sqrt5$, $AC=\sqrt7$. Последовательность точек $O_n$ строится следующим образом: точка $O_1$ — центр сферы, описанной около пирамиды $SABC$, и для каждого натурального $n\geqslant2$ точка $O_n$ есть центр сферы, описанной около пирамиды $O_{n-1}ABC$. Какую длину должно иметь ребро $SA$, чтобы множество $\{O_n\}$ состояло ровно из двух различных точек?
Ответ:
Решение:
В правильную треугольную призму $ABCA_1B_1C_1$ вписан шар радиуса $\sqrt{10}$. Найдите объём вписанного в шар прямого кругового цилиндра, основание которого лежит в плоскости, проходящей через точку $A$ и середины рёбер $BB_1$ и $CC_1$.
Ответ:
Решение:
В неравнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $AM$ перпендикулярна биссектрисе $BL$. Найдите все возможные значения периметра треугольника $ABC$, если длина стороны $AB$ равна 7, а длины двух других сторон выражаются целыми числами.
Ответ:
Решение: