Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 385
Целые числа $x$, $y$, $z$, $t$ таковы, что \[x+y+z+t=0.\] Сколько различных натуральных значений, не превосходящих 10 000, может принимать число \[(xy-zt)(xz-yt)(yz-xt)?\]
Ответ:
Решение:
В каждую клетку таблицы $2\times2$ вписано по одному числу. Все числа различны,
- сумма чисел в первой строке равна сумме чисел во второй строке,
- а произведение чисел в первом столбце равно произведению чисел во втором столбце.
Ответ:
Решение:
Докажите, что число \[12345678987654321^2\cdot987654321012345679^2+\left(12345678987654321^2+987654321012345679^2\right)\cdot10^{36}\] является квадратом целого числа.
Ответ:
Решение:
Сумма четырех целых чисел равна 0. Числа расставили по кругу и каждое умножили на сумму двух его соседей. Докажите, что сумма этих четырех произведений, умноженная на $-1$, равна удвоенному квадрату целого числа.
Ответ:
Решение:
Два числа таковы, что их сумма, сумма их квадратов и сумма их кубов равны одному и тому же числу $m$. Докажите, что сумма четвёртых степеней этих чисел тоже равна $m$.
Ответ:
Решение:
Даны три положительных числа: $a$, $b$, $c$.
- Петя записал на доске числа $\dfrac{1}{a}+bc$, $\dfrac{1}{b}+ac$, $\dfrac{1}{c}+ab$,
- а Вася — числа $2a^2$, $2b^2$, $2c^2$.
Ответ:
Решение:
Найдите три нецелых положительных числа $a$, $b$, $c$ таких, что все числа \[ \frac{a+b}{a-b},\quad \frac{b+c}{b-c},\quad \frac{c+a}{c-a} \] являются целыми.
Ответ:
Решение:
На доске написаны четыре числа, ни одно из которых не равно 0. Если каждое из них умножить на сумму трёх остальных, получатся четыре одинаковых результата. Докажите, что квадраты записанных на доске чисел равны.
Ответ:
Решение:
Целые числа $a$, $b$, $c$ и натуральное число $n$ таковы, что $a+b+c=1$ и $a^2+b^2+c^2=2n+1$. Докажите, что $a^3+b^2-a^2-b^3$ делится на $n$.
Ответ:
Решение:
Даны два числа (не обязательно целые), не равные 0. Если каждое из них увеличить на единицу, их произведение увеличится вдвое. А во сколько раз увеличится их произведение, если каждое из исходных чисел возвести в квадрат и затем уменьшить на единицу?
Ответ:
Решение:
Учитель написал на доске 10 отрицательных целых чисел. Вася переписал в тетрадь эти числа, затем записал туда же всевозможные их попарные произведения, всевозможные произведения трёх, четырёх, $\ldots$, девяти из этих чисел и, наконец, произведение всех десяти чисел. Оказалось, что сумма всех записанных Васей чисел отрицательна. Чему она могла быть равна?
Ответ:
Решение:
Маша взяла четыре различных положительных числа и записала шесть их попарных произведений в ряд в порядке возрастания. Могли ли все пять разностей между соседними числами этого ряда оказаться одинаковыми?
Ответ:
Решение:
По кругу расставлены 2025 ненулевых чисел. Может ли для любых пяти подряд идущих чисел $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ быть выполнено равенство $ab+de=bd$?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Три числа таковы, что куб суммы любых двух из них равен сумме их кубов. Докажите, что среди этих чисел есть нуль.
Ответ:
Решение:
У Васи Пупкина кончились деньги, и он нанялся на работу. По договору он работал без выходных и за каждый день работы он получал по 100 грошей. Получаемые деньги Вася начал тратить. В первый день работы он потратил 1 грош, а в каждый следующий день тратил на 1 грош больше, чем в предыдущий. К концу какого дня работы Вася снова оказался без денег? (Вася ежедневно получал 100 грошей в конце работы, а тратил деньги после работы.)
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
По кругу расставлено 99 положительных чисел. Оказалось, что для любых четырех стоящих подряд чисел сумма двух первых из них по часовой стрелке равна произведению двух последних из них по часовой стрелке. Чему может быть равна сумма всех 99 расставленных чисел?
Ответ:
Решение:
Сегодня у меня и моей сестры день рождения. Вместе нам 26 лет, причем сестре в три раза меньше лет, чем мне будет тогда, когда нам вместе будет в пять раз больше лет, чем мне сейчас. Сколько сейчас лет моей сестре?
Ответ:
Решение:
Перед тем, как приступить к решению задачи, Коля посмотрел на часы. Был второй час дня. Потратив на решение ровно час, Коля снова посмотрел на часы и заметил, что угол между часовой и минутной стрелками остался прежним. Когда Коля начал решать задачу?
Ответ:
Решение: