Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 331
Сколькими различными способами можно выбрать целые числа $a,b,c\in[1;100]$ так, чтобы точки с координатами $A(-1;a)$, $B(0;b)$ и $C(1;c)$ образовывали прямоугольный треугольник?
Ответ:
Решение:
Через три стороны правильного 30-угольника проводят прямые. Стороны выбирают так, что прямые пересекаются друг с другом, и исходный многоугольник лежит внутри полученного треугольника. Сколько попарно неравных треугольников может получиться? Равными считаются треугольники, которые можно совместить поворотом или отражением.
Ответ:
Решение:
Можно ли нанести на грани двух кубиков неотрицательные целые числа так, чтобы при случайном бросании сумма выпавших очков могла быть равна любому целому числу от 1 до 36? Если это возможно, то в ответе укажите сумму всех 12 чисел на гранях; если невозможно — в ответе запишите 0.
Ответ:
Решение:
Сколько существует четырёхзначных чисел, обладающих следующими свойствами: все цифры числа чётные; число кратно четырём; если зачеркнуть последнюю цифру, то полученное трёхзначное число не кратно четырём?
Ответ:
Решение:
Все натуральные числа, сумма цифр каждого из которых равна 5, упорядочили по возрастанию. Какое число стоит на 125-м месте?
Ответ:
Решение:
Андрею нравятся все числа, не делящиеся на $3$, а Тане нравятся все числа, в которых нет цифр, делящихся на $3$.\ а) Сколько четырёхзначных чисел нравятся и Андрею, и Тане?\ б) Найдите общую сумму цифр всех таких четырёхзначных чисел.
Ответ:
Решение:
Болельщики должны выбрать 6 лучших хоккеистов чемпионата: одного вратаря, двух защитников и трех нападающих. Среди претендентов: 3 вратаря, 5 защитников, 6 нападающих и 3 «универсала». «Универсал» — игрок, хороший в разных ролях, который поэтому может быть выбран как в качестве защитника, так в качестве нападающего (но не вратаря). Сколько существует способов выбрать эту шестерку? Требуется получить числовое значение.
Ответ:
Решение:
В «Драконьем покере» в колоде четыре масти. Туз приносит 1 очко, валет — 2 очка, двойка — $2^2$, тройка — $2^3$, …, десятка — $2^{10}=1024$ очка. Короли и дамы отсутствуют. Можно выбирать из колоды любое количество карт. Сколькими способами можно набрать 2018 очков?
Ответ:
Решение:
Каждый киндер-сюрприз содержит ровно 3 различных гномика, а всего есть 12 разновидностей гномиков. В коробке лежит достаточно много киндер-сюрпризов, причем в любых двух из них тройки гномиков не одинаковы. Какое наименьшее количество киндер-сюрпризов нужно купить, чтобы после их вскрытия в них заведомо оказалось хотя бы по одному гномику всех 12 разновидностей?
Ответ:
Решение:
Числа от 1 до 8 расставлены в вершинах куба так, чтобы сумма чисел в любых трёх вершинах, находящихся на одной грани, была не менее 10. Какова наименьшая возможная сумма чисел, стоящих в вершинах одной грани?
Ответ:
Решение:
На числовой прямой отмечены четыре синие точки, соответствующие первым членам геометрической прогрессии с первым членом $-2$ и знаменателем $-2$, а также четыре зелёные точки, соответствующие первым членам некоторой арифметической прогрессии с первым членом $-5$. Какова при этом наименьшая возможная сумма длин четырёх отрезков с разноцветными концами, включающими все восемь отмеченных точек? (Каждая из восьми точек является концом одного из отрезков.)
Ответ:
Решение:
Настенные часы сломались, отчего минутная стрелка стала в произвольные моменты времени мгновенно менять направление своего движения на противоположное, вращаясь со своей прежней угловой скоростью. Все потенциальные показания (в минутах) этой стрелки целиком заполняют промежуток $[0;60)$.
а) Может ли такая стрелка в течение одного часа бесконечно много раз показать каждое из двух чисел 15 и 45?
б) Какое наибольшее количество раз в течение трёх суток может встретиться самое редкое показание такой стрелки (из всех потенциальных показаний за эти трое суток)?
а) Может ли такая стрелка в течение одного часа бесконечно много раз показать каждое из двух чисел 15 и 45?
б) Какое наибольшее количество раз в течение трёх суток может встретиться самое редкое показание такой стрелки (из всех потенциальных показаний за эти трое суток)?
Ответ:
Решение:
Какое наименьшее (одинаковое) число карандашей нужно положить в каждую из 8 коробок так, чтобы в любых 5 коробках нашлись карандаши любого из 24 заранее заданных цветов (карандашей имеется достаточное количество)?
Ответ:
Решение:
Для охраны объекта заказчик договорился с охранниками о следующем: все они укажут отрезки времени своих предполагаемых дежурств с единственным условием, чтобы их объединение составляло заранее заданный заказчиком отрезок времени, а он выберет из этих отрезков любой набор, удовлетворяющий тому же условию, и оплатит работу из расчёта 300 руб. в час каждому дежурному. Какой наибольший отрезок времени заказчик может задать, чтобы наверняка уложиться в 90000 руб?
Ответ:
Решение:
Множество $X$ состоит из пяти различных чисел $x_1$, …, $x_5$, а множество $Y$ — из семи различных чисел $y_1$, …, $y_7$. Какое наибольшее количество различных чисел заведомо содержит множество, состоящее из сумм вида $x_i+y_j$, где $i\in\{1,\ldots,5\}$, $j\in\{1,\ldots,7\}$?
Ответ:
Решение:
Какое наибольшее количество чисел можно выбрать из множества всех нечётных чисел, лежащих между $16$ и $2016$, чтобы ни одно из выбранных чисел не делилось ни на одно другое?
Ответ:
Решение:
Рассматриваются всевозможные наборы, которые состоят из $2017$ различных натуральных чисел и в каждом из которых ни одно из чисел нельзя представить в виде суммы двух других чисел этого набора. Какое наименьшее значение может принимать наибольшее число в таком наборе?
Ответ:
Решение:
Имеется круглый вращающийся стол с 16 секторами, на которых по кругу написаны числа $0, 1, 2, \ldots, 7, 8, 7, 6, \ldots, 2, 1$. За столом сидят 16 игроков, занумерованных по порядку. После каждого вращения стола каждый игрок получает столько очков, сколько написано на секторе, за которым он оказался после остановки стола. Оказалось, что после 13 вращений стола игрок номер 5 набрал в сумме 72 очка, а игрок номер 9 набрал в сумме 84 очка. Сколько очков набрал игрок номер 1?
Ответ:
Решение:
Аля и Валя испекли пирог прямоугольной формы со сторонами 20 и 15 см и решили сыграть в такую игру. Каждая из них по очереди делает не более двух параллельных разрезов и съедает один из имеющихся кусков. При этом куски перекладывать нельзя. За один ход обязательно нужно съесть кусок, но не более 1/10 пирога. Запрещено резать пирог так, чтобы получались куски меньше 1/100 пирога. Побеждает тот, кто доел пирог. Кто выигрывает при правильной игре, если начинает Аля? Какая стратегия выигрышная?
Ответ:
Решение:
Все натуральные числа разбили на «хорошие» и «плохие» по следующим правилам:
1) из любого плохого числа можно вычесть некоторое натуральное число, не превосходящее его половины, так, чтобы получившаяся разность стала «хорошей»;
2) из «хорошего» числа нельзя вычесть не более половины так, чтобы оно осталось «хорошим».
Известно, что число 1 — «хорошее». Найдите ближайшее к 2015 «хорошее» число.
1) из любого плохого числа можно вычесть некоторое натуральное число, не превосходящее его половины, так, чтобы получившаяся разность стала «хорошей»;
2) из «хорошего» числа нельзя вычесть не более половины так, чтобы оно осталось «хорошим».
Известно, что число 1 — «хорошее». Найдите ближайшее к 2015 «хорошее» число.
Ответ:
Решение: