Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 561
Решите неравенство \[ \sqrt{4x+1-12\sqrt{x-2}}+\sqrt{4x+8-16\sqrt{x-2}}\leqslant\log_{1/4}\left(x-\frac{17}{4}\right). \]
Ответ:
Решение:
На уроке рисования учитель сложил из нескольких одинаковых кубиков фигуру, а Петров и Васечкин нарисовали её с двух различных точек зрения (см. рисунок). Из скольких кубиков могла состоять эта фигура? (В ответе укажите произведение наибольшего и наименьшего возможного значения.)
Ответ:
Решение:
В сферу радиуса $\sqrt{3}$ вписан параллелепипед, объём которого равен 8. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
В треугольной пирамиде длины перпендикуляров, опущенных из четырёх вершин на противоположные грани, равны 3, 4, 7 и $84/37$ соответственно. Найдите радиус вписанного в эту пирамиду шара.
Ответ:
Решение:
Радиус сферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду, равен $R$. Найдите величину двугранного угла при боковом ребре этой пирамиды, при которой максимален объём другой пирамиды, вершинами которой служат центр вписанной в исходную пирамиду сферы и точки касания этой сферы с боковыми гранями исходной пирамиды.
Ответ:
Решение:
Одно основание правильной $n$-угольной призмы ($n\geqslant 3$) имеет $n$ общих точек со сферой радиуса 3; другое основание имеет с этой сферой одну общую точку. Какие значения может принимать объём призмы?
Ответ:
Решение:
В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ сторона основания равна $\frac{2}{\sqrt3}$, а боковая сторона $AA_1=2$.
а) Докажите, что в призму можно вписать шар, и найдите его радиус.
б) Найдите объём наименьшей части шара, которую отсекает плоскость, проходящая через точки $B$, $A_1$ и $E$.
а) Докажите, что в призму можно вписать шар, и найдите его радиус.
б) Найдите объём наименьшей части шара, которую отсекает плоскость, проходящая через точки $B$, $A_1$ и $E$.
Ответ:
Решение:
На основании прямого кругового конуса расположены три попарно касающихся друг друга шара одинакового радиуса. Каждый из них касается также боковой поверхности конуса. Четвёртый шар того же радиуса касается первых трёх и боковой поверхности конуса. Найдите объём конуса, если радиус окружности, образованной точками касания четвёртым шаром боковой поверхности конуса, равен $\sqrt2$.
Ответ:
Решение:
Высоты остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. Найдите угол $ACB$, если $AB:OC=2$.
Ответ:
Решение:
Медиана $AM$ треугольника $ABC$ перпендикулярна его биссектрисе $BL$. Найдите площадь треугольника $ABM$, если площадь треугольника $ABL$ равна 10.
Ответ:
Решение:
Высоты $AK$ и $CL$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Найдите величину угла $BAC$, если $AH=HK$ и $CH=2HL$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ биссектрисы $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $O$. Известно, что $2\cdot AO=7\cdot OA_1$, $BO=2\cdot OB_1$. Найдите отношение высоты, опущенной из точки $A$, к радиусу вписанной в треугольник $ABC$ окружности.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ биссектриса $BE$ и медиана $AD$ равны и перпендикулярны. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $AB=\sqrt{13}$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $PVG$ обозначили точку пересечения высот через $H$, центр описанной окружности через $O$. Площади треугольников $OHP$ и $OHV$ равны $5$ и $3$ соответственно. Найдите площадь треугольника $OHG$.
Ответ:
Решение:
Прямая, проходящая через точки, симметричные основанию высоты $AD$ остроугольного треугольника $ABC$ относительно сторон $AC$ и $AB$, пересекает эти стороны в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите расстояние от точки $B$ до точки пересечения отрезков $BE$ и $CF$, если $AC=b$ и $\angle ABC=\beta$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$, $\angle A=2\alpha$, биссектрисы $BD$ и $CE$ пересекаются в точке $I$. Найдите наименьший возможный радиус окружности, описанной около треугольника $DEI$, если сумма длин отрезков $DI$ и $EI$ равна $2d$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $LOM$ обозначили точку пересечения высот через $H$, центр описанной окружности через $Q$. Площади треугольников $LQH$ и $OQH$ равны 5 и 3 соответственно. Найдите площадь треугольника $MQH$.
Ответ:
Решение:
В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность с центром $O$, при этом $\angle AOB=75^\circ$, $AB=3$. Найдите площадь круга, ограниченного описанной вокруг треугольника $ABE$ окружностью, где $E$ — точка пересечения прямых $AD$ и $BC$.
Ответ:
Решение:
В четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB=2$, $BC=4$, $CD=5$ вписали окружность и вокруг него описали окружность. Найдите площадь четырёхугольника.
Ответ:
Решение: