Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1597
Клетчатую таблицу назовём разнообразной, если её клетки раскрашены в чёрный и белый цвет так, что во всех строках разное количество чёрных клеток, а также во всех столбцах разное количество чёрных клеток.
Пару натуральных чисел $(m,n)$ назовём подходящей, если существует разнообразная таблица $m\times n$, причём $10\leqslant m\leqslant 20$ и $10\leqslant n\leqslant 20$. Сколько существует подходящих пар? (Если числа $m$ и $n$ различны, то пары $(m,n)$ и $(n,m)$ считаются различными.)
Пару натуральных чисел $(m,n)$ назовём подходящей, если существует разнообразная таблица $m\times n$, причём $10\leqslant m\leqslant 20$ и $10\leqslant n\leqslant 20$. Сколько существует подходящих пар? (Если числа $m$ и $n$ различны, то пары $(m,n)$ и $(n,m)$ считаются различными.)
Ответ:
Решение:
В стране 30 городов и 30 двусторонних авиалиний, соединяющих города по циклу. Можно ли добавить дополнительно еще 10 авиалиний так, чтобы после этого из любого города можно было добраться до любого другого не более чем за 4 перелета?
Ответ:
Решение:
Существуют ли такие составные натуральные числа $m\gt n\gt 1$, что у чисел $m$, $n$, $m+n$ и $m-n$ наибольший делитель, отличный от самого числа, одинаковый?
Ответ:
Решение:
Тренер дал начинающим шахматистам задание: каждый должен подойти к шахматной доске $8\times8$, поставить шахматного короля на одну из угловых клеток и сделать им 21 ход так, чтобы король побывал в каких-то двух других угловых клетках и вернулся в исходную клетку. После этого короля убирают, и к доске подходит следующий ребёнок. Четыре ребёнка по очереди выполнили задание. Обязательно ли после этого найдутся такие две клетки $A$ и $B$, что хотя бы два ребёнка сделали ход королём с клетки $A$ на клетку $B$?
Ответ:
Решение:
Бессмертная блоха прыгает по целым точкам на числовой прямой, стартуя с точки 0. Длина первого прыжка равна 3, второго — 5, третьего — 9, и так далее (длина $k$-го прыжка равна $2^k+1$). Направление прыжка (вправо или влево) блоха выбирает самостоятельно. Может ли так случиться, что блоха рано или поздно побывает в любой натуральной точке (возможно, побывав в некоторых точках больше, чем по разу)?
Ответ:
Решение:
На столе по кругу разложены 1000 карточек, на каждой написано по натуральному числу; все эти числа различны. Сначала Вася выбирает одну из карточек и снимает её со стола. Далее он повторяет следующую операцию. Если на последней снятой карточке было написано число $k$, то Вася отсчитывает от неё по часовой стрелке $k$-ю не снятую со стола карточку и тоже снимает её. Это происходит до тех пор, пока на столе не останется одна карточка. Могло ли оказаться, что в начальном расположении есть такая карточка $A$, что если снять первой любую другую карточку, то в конце останется обязательно карточка $A$?
Ответ:
Решение:
На прямоугольном столе лежат несколько картонных прямоугольников. Их стороны параллельны сторонам стола. Размеры прямоугольников могут различаться, они могут перекрываться, но никакие два прямоугольника не могут иметь 4 общих вершины. Может ли оказаться, что каждая точка, являющаяся вершиной прямоугольника, является вершиной ровно трёх прямоугольников?
Ответ:
Решение:
Можно ли раскрасить все натуральные числа в два цвета так, чтобы никакая сумма двух различных одноцветных чисел не являлась степенью двойки?
Ответ:
Решение:
На доске написаны 11 целых чисел (не обязательно различных). Может ли оказаться, что произведение любых пяти из них больше, чем произведение остальных шести?
Ответ:
Решение:
На прямоугольном листе бумаги провели несколько отрезков, параллельных его сторонам. Эти отрезки разбили лист на несколько прямоугольников, внутри которых нет проведённых линий. Петя хочет провести в каждом из прямоугольников разбиения одну диагональ, разбив его на два треугольника, и окрасить каждый треугольник либо в чёрный, либо в белый цвет. Верно ли, что он обязательно сможет это сделать так, чтобы никакие два одноцветных треугольника не имели общего отрезка границы?
Ответ:
Решение:
Существует ли выпуклый 201-угольник, в котором каждая диагональ перпендикулярна какой-то другой диагонали?
Ответ:
Решение:
Обозначим через $S(k)$ сумму цифр натурального числа $k$. Натуральное число $a$ назовём $n$-хорошим, если существует такая последовательность натуральных чисел $a_0$, $a_1$, $\ldots$, $a_n$, что $a_n=a$ и $a_{i+1}=a_i-S(a_i)$ при всех $i=0,1,\ldots,n-1$. Верно ли, что для любого натурального $n$ существует натуральное число, являющееся $n$-хорошим, но не являющееся $(n+1)$-хорошим?
Ответ:
Решение:
По кругу расставлено 300 положительных чисел. Могло ли случиться так, что каждое из этих чисел, кроме одного, равно разности своих соседей?
Ответ:
Решение:
На доске написаны четыре попарно различных целых числа, модуль каждого из которых больше миллиона. Известно, что не существует натурального числа, большего 1, на которое бы делилось каждое из четырёх написанных чисел. Петя записал в тетрадку шесть попарных сумм этих чисел, разбил эти шесть сумм на три пары и перемножил числа в каждой паре. Могли ли все три произведения оказаться равными?
Ответ:
Решение:
Натуральное число $N$ представляется в виде \[ N=a_1-a_2=b_1-b_2=c_1-c_2=d_1-d_2, \] где $a_1$ и $a_2$ — квадраты, $b_1$ и $b_2$ — кубы, $c_1$ и $c_2$ — пятые степени, а $d_1$ и $d_2$ — седьмые степени натуральных чисел. Обязательно ли среди чисел $a_1$, $b_1$, $c_1$ и $d_1$ найдутся два равных?
Ответ:
Решение:
Паша выбрал 2017 (не обязательно различных) натуральных чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_{2017}$ и играет сам с собой в следующую игру. Изначально у него есть неограниченный запас камней и 2017 больших пустых коробок. За один ход Паша добавляет в любую коробку (по своему выбору) $a_1$ камней, в любую из оставшихся коробок (по своему выбору) — $a_2$ камней, $\ldots$, наконец, в оставшуюся коробку — $a_{2017}$ камней. Пашина цель — добиться того, чтобы после некоторого хода во всех коробках стало поровну камней. Мог ли он выбрать числа так, чтобы цели можно было добиться за 43 хода, но нельзя — за меньшее ненулевое число ходов?
Ответ:
Решение:
На плоскости проведено несколько прямых, никакие две из которых не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. Докажите, что в областях, на которые прямые поделили плоскость, можно расставить положительные числа так, чтобы суммы чисел по обе стороны каждой из проведённых прямых были равны.
Ответ:
Решение:
Существует ли такая бесконечная возрастающая последовательность $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\ldots$ натуральных чисел, что сумма любых двух различных членов последовательности взаимно проста с суммой любых трёх различных членов последовательности?
Ответ:
Решение:
Верно ли, что для любых трёх различных натуральных чисел $a$, $b$ и $c$ найдётся квадратный трёхчлен с целыми коэффициентами и положительным старшим коэффициентом, принимающий в некоторых целых точках значения $a^3$, $b^3$ и $c^3$?
Ответ:
Решение:
В карточной игре каждой карте сопоставлено числовое значение от 1 до 100, причём каждая карта бьёт меньшую, за одним исключением: 1 бьёт 100. Игрок знает, что перед ним лежат рубашками вверх 100 карт с различными значениями. Крупье, знающий порядок этих карт, может про любую пару карт сообщить игроку, какая из них какую бьёт. Докажите, что крупье может сделать сто таких сообщений, чтобы после этого игрок смог точно узнать значение каждой карты.
Ответ:
Решение: