Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 258
Найти все пары целых чисел $(x;y)$, удовлетворяющие системе уравнений \[\begin{cases} 3x^2-8xy-y^2=18,\\ x^2+y^2-2x+8y+16=0.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
Дано число $a=2^{2002}+3^{2002}$. Найти последнюю цифру числа $a$ и остаток от деления числа $a$ на 11.
Ответ:
Решение:
Найти все значения $a$, при которых уравнение \[\log_{4x}(1+ax)=\dfrac{1}{2}\] имеет единственное решение.
Ответ:
Решение:
Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение \[\log_7\left(7^x-\log_7 a\right)=2x\] имеет единственное решение.
Ответ:
Решение:
Найти все $a$, при которых уравнение \[\log_5\left(x+\sqrt{2-a}\right)+\log_{\frac{1}{5}}(a-1-x)=\log_{25}9\] имеет решение.
Ответ:
Решение:
Найти все значения $a$, при которых система \[\begin{cases}\log_2(3-x+y)+3=\log_2(25-6x+7y),\\ y+2=(x-2a)^2+a+2x\end{cases}\] имеет два решения.
Ответ:
Решение:
Найти все значения $a$, при которых уравнение $\sin x=(4a-2)^2$ имеет корни, а числа $\frac{1-4a}{27a^4}$ являются целыми.
Ответ:
Решение:
Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение \[\left|ax^2+3\right|=|2ax|+|3a|\] имеет хотя бы одно действительное решение.
Ответ:
Решение:
Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение \[\dfrac12(\cos x)^{\frac23}+(\sin x)^{\frac23}=a\] имеет единственное решение на отрезке $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$.
Ответ:
Решение:
Найти все значения параметра $a$, при которых система неравенств \[\begin{cases}x^2+2x-a\leqslant 0,\\ x^2-4x+6a\leqslant 0\end{cases}\] имеет единственное решение.
Ответ:
Решение:
Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение \[(a+3-|x+2|)\left(a+x^2+4x\right)=0\] имеет
- ровно три корня;
- ровно два корня.
Ответ:
Решение:
Найти все значения $a$, при которых уравнение $\sqrt{x-9}=ax+7a-3$ имеет единственное решение.
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $t$ система уравнений \[\begin{cases} (x-1-4t)^2+(y-1-3t)^2=9t^2,\\ (x-5)^2+(y-3)^2=4\end{cases}\] имеет единственное решение?
Ответ:
Решение:
Найти все значения параметра $a$, при которых существует ровно две пары действительных чисел $(x,y)$, удовлетворяющих системе уравнений \[ \begin{cases} \left(x+y^2-1\right)\left(y-\sqrt{6}|x|\right)=0,\\ 2ay+x=1+a^2. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Найти все значения параметра $\alpha$, $-\pi\lt \alpha\lt \pi$, при которых система уравнений \[ \begin{cases} (1-4x^2-4y^2)(4x^2+15-12y)=0,\\ y\cos\alpha+x\sin\alpha=\dfrac12 \end{cases} \] имеет ровно три решения.
Ответ:
Решение:
Найти все значения $a$, при которых система уравнений \[\begin{cases}|x|+2|y|+|2y-3x|=12,\\ x^2+y^2=a\end{cases}\] имеет ровно два действительных решения.
Ответ:
Решение:
Для каждого значения параметра $a\in[0,\pi]$ найти максимальное значение $g(a)$ функции \[f(x,y)=x(x+2)+y(y-4)\] на множестве точек $(x,y)$ таких, что $x^2+y^2\leqslant2(x\cos a+y\sin a)$. Найти значения параметра $a\in[0,\pi]$, при которых $g(a)$ принимает наименьшее значение.
Ответ:
Решение:
Найти все значения параметра $a$, при которых наибольшее значение величины $x^2+y$ на множестве пар действительных чисел $(x;y)$, удовлетворяющих одновременно двум неравенствам $y\leqslant\sqrt{1-x^2}$ и $y+|x-a|\leqslant1$, будет максимально возможным. Найти это максимально возможное значение.
Ответ:
Решение:
В равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB=BC$) вписана окружность с центром $O$. Касательная к окружности пересекает стороны $BC$ и $CA$ треугольника в точках $M$ и $N$ соответственно. Найти радиус окружности, если $\angle MNC=2\angle NMC$, $OM=\sqrt{10}$, $ON=\frac{15}{4}$.
Ответ:
Решение:
Около окружности описаны ромб со стороной 3 и треугольник, две стороны которого параллельны диагоналям ромба, а третья параллельна одной из сторон ромба и равна 7. Найти радиус окружности.
Ответ:
Решение: