Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1118
Известно, что $\frac{a}{b+c-3a}=\frac{b}{a+c-3b}=\frac{c}{a+b-3c}$. Найдите все возможные различные значения выражения $\frac{3b}{a}+\frac{3c}{a}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}$. В ответ запишите сумму найденных значений.
Ответ:
Решение:
Ненулевые действительные числа $x$, $y$, $z$ удовлетворяют равенствам \[ 3x+2y=z\quad\text{и}\quad\dfrac3x+\dfrac1y=\dfrac2z. \] Найдите наибольшее возможное значение выражения $\dfrac{3x^2-4y^2-z^2}{x^2-6y^2}$.
Ответ:
Решение:
Петя загадал такие вещественные числа $x$, $y$, $z$, что выражения \[\dfrac{x(y-z)}{y(z-x)}\quad\text{и}\quad\dfrac{2y(z-x)}{z(y-x)}\] принимают одно и то же значение $A$. Найдите все возможные значения $A$, если известно, что их не менее двух.
Ответ:
Решение:
Ненулевые числа $a$, $b$, $c$ таковы, что \[ \frac{a}{b+c-5a}=\frac{b}{a+c-5b}=\frac{c}{a+b-5c}. \] Какое наименьшее значение может принимать выражение $\dfrac{2b}{a}+\dfrac{2c}{a}+\dfrac{5a}{b}+\dfrac{5c}{b}$?
Ответ:
Решение:
Найдите значение выражения \[ \dfrac{x^2-xy+4x-5y-5}{x^2-4y^2}\cdot\dfrac{x^3-2x^2y-5x^2+10xy+25x-50y}{x^3+125} \] при $x=5{,}4$ и $y=2{,}3$.
Ответ:
Решение:
На плоскости $Oxy$ уравнением $26a^2-22ax-20ay+5x^2+8xy+4y^2=0$ заданы координаты точки $A$, а уравнением $ax^2+2a^2x-ay+a^3+1=0$ — парабола с вершиной в точке $B$. Найдите все значения параметра $a$, при которых точки $A$ и $B$ лежат по разные стороны от прямой $3x-y=4$ (точки $A$ и $B$ не лежат на этой прямой).
Ответ:
Решение:
На плоскости $Oxy$ даны точка $A$, координаты $(x;y)$ которой удовлетворяют уравнению $5a^2-6ax-2ay+2x^2+2xy+y^2=0$, и окружность с центром в точке $B$, заданная уравнением $a^2x^2+a^2y^2-8a^2x-2a^3y+12ay+a^4+36=0$. Найдите все значения параметра $a$, при которых точки $A$ и $B$ лежат по разные стороны от прямой $y=1$ (точки $A$ и $B$ не лежат на этой прямой).
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ среди решений неравенства $(x+2)\sqrt{ax+x-x^2-a}\geqslant0$ найдутся два решения, разность между которыми равна 4?
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ среди решений неравенства $(x^2-ax-x+a)\sqrt{x+5}\leqslant0$ найдутся два решения, разность между которыми равна 4?
Ответ:
Решение:
Сколько различных целых значений принимает функция $17\sin x+\operatorname{tg}x\cdot\operatorname{ctg}x$?
Ответ:
Решение:
При каком натуральном значении $n$ числа $n$, $n+15$, $46n-30$ являются последовательными членами геометрической прогрессии?
Ответ:
Решение:
Дана возрастающая геометрическая прогрессия $b_1,b_2,\ldots,b_n,\ldots$ Известно, что \[ b_2+b_4=10,\quad b_4^2-b_2^2=60. \] Чему равен пятый член прогрессии?
Ответ:
Решение:
Известно, что сумма первых $12$ членов геометрической прогрессии, состоящей из положительных чисел, равна $3003$, а сумма обратных величин первых $12$ членов этой прогрессии равна $1001$. Найдите произведение первых $12$ членов этой прогрессии.
Ответ:
Решение:
Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна $19$, а сумма их квадратов равна $741$. Какое наибольшее значение может принимать сумма их кубов?
Ответ:
Решение:
Какое наибольшее значение может иметь знаменатель геометрической прогрессии $b_1,b_2,\ldots$, если число $5$ является корнем уравнения $b_{10}x^9+\ldots+b_3x^2+b_2x+b_1=0$?
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $p$, при каждом из которых числа $4p+5$, $2p$ и $|p-3|$ являются соответственно первым, вторым и третьим членами некоторой геометрической прогрессии.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $p$, при каждом из которых числа $p-2$, $2\sqrt{p}$ и $-3-p$ являются соответственно первым, вторым и третьим членами некоторой геометрической прогрессии.
Ответ:
Решение:
Найдите первый член и знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если отношение суммы кубов всех её членов к сумме всех членов этой прогрессии равно $\frac{48}{7}$, а отношение суммы четвертых степеней членов к сумме квадратов членов этой прогрессии равно $\frac{144}{17}$.
Ответ:
Решение:
Дана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Сумма всех её членов с нечётными номерами на 2 больше, чем сумма всех членов с чётными номерами. А разность между суммой квадратов всех членов на нечётных местах и суммой квадратов всех членов на чётных местах равна $\frac{36}{5}$. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.
Ответ:
Решение: