Поиск задач

Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.

Найдено задач: 1597
14879
Крест, состоящий из двух одинаковых больших и двух одинаковых маленьких квадратов, поместили внутрь ещё большего квадрата. Вычислите в сантиметрах сторону самого большого квадрата, если площадь креста — 810 см$^2$.
самый большой квадрат, внутри него крест. Два больших квадрата (тёмно-серые) стоят вплотную рядом и образуют горизонтальную полосу посередине во всю ширину самого большого квадрата; над полосой и под ней посередине стоит по маленькому квадрату (светло-серые), каждый примыкает к полосе и к…самый большой квадрат, внутри него крест. Два больших квадрата (тёмно-серые) стоят вплотную рядом и образуют горизонтальную полосу посередине во всю ширину самого большого квадрата; над полосой и под ней посередине стоит по маленькому квадрату (светло-серые), каждый примыкает к полосе и к…
Ответ:
Решение:
14880
На прямоугольном листе бумаги нарисовали картинку в форме «креста» из двух прямоугольников $ABCD$ и $EFGH$, стороны которых параллельны краям листа. Известно, что $AB=9$, $BC=5$, $EF=3$, $FG=10$. Найдите площадь четырёхугольника $AFCH$.
«крест» из горизонтального прямоугольника ABCD (A — левая нижняя, B — правая нижняя, C — правая верхняя, D — левая верхняя вершина) и вертикального прямоугольника EFGH (F — левая верхняя, E — правая верхняя, H — правая нижняя, G — левая нижняя вершина). Прямоугольник EFGH выступает за ABCD…«крест» из горизонтального прямоугольника ABCD (A — левая нижняя, B — правая нижняя, C — правая верхняя, D — левая верхняя вершина) и вертикального прямоугольника EFGH (F — левая верхняя, E — правая верхняя, H — правая нижняя, G — левая нижняя вершина). Прямоугольник EFGH выступает за ABCD…
Ответ:
Решение:
14881
Дан прямоугольник $ABCD$. Прямая, проходящая через вершину $A$ и точку $K$ на стороне $BC$, делит весь прямоугольник на две части, площадь одной из которых в 5 раз меньше площади другой. Найдите длину отрезка $KC$, если $AD=60$.
прямоугольник ABCD (A — левая нижняя вершина, B — правая нижняя, C — правая верхняя, D — левая верхняя); через вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке K, расположенной ближе к B, чем к C.прямоугольник ABCD (A — левая нижняя вершина, B — правая нижняя, C — правая верхняя, D — левая верхняя); через вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке K, расположенной ближе к B, чем к C.
Ответ:
Решение:
14882
Дан прямоугольник $7\times10$. Чему равна площадь закрашенной фигуры?
прямоугольник шириной 10 и высотой 7, внутри проведены два отрезка, пересекающиеся в центре прямоугольника. Первый отрезок соединяет точку нижней стороны на расстоянии 1 от левого нижнего угла с точкой верхней стороны на расстоянии 1 от правого верхнего угла (подписи частей нижней стороны: 1 и…прямоугольник шириной 10 и высотой 7, внутри проведены два отрезка, пересекающиеся в центре прямоугольника. Первый отрезок соединяет точку нижней стороны на расстоянии 1 от левого нижнего угла с точкой верхней стороны на расстоянии 1 от правого верхнего угла (подписи частей нижней стороны: 1 и…
Ответ:
Решение:
14883
На сторонах $AB$ и $AD$ прямоугольника $ABCD$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно. Известно, что $AN=7$, $NC=39$, $AM=12$, $MB=3$.
1. Найдите площадь прямоугольника $ABCD$.
2. Найдите площадь треугольника $MNC$.
прямоугольник ABCD (A — левая нижняя вершина, B — левая верхняя, C — правая верхняя, D — правая нижняя); на стороне AB точка M (подписи MB=3, AM=12), на стороне AD точка N (подпись AN=7); треугольник MNC закрашен, у отрезка NC подпись 39.прямоугольник ABCD (A — левая нижняя вершина, B — левая верхняя, C — правая верхняя, D — правая нижняя); на стороне AB точка M (подписи MB=3, AM=12), на стороне AD точка N (подпись AN=7); треугольник MNC закрашен, у отрезка NC подпись 39.
Ответ:
Решение:
14884
Два равных прямоугольника имеют общую вершину и наложены друг на друга как на рисунке.
1. Найдите вторую сторону прямоугольника.
2. Найдите площадь закрашенной серым цветом части.
первый прямоугольник расположен «лёжа» (длинные стороны горизонтальны), его левая сторона подписана числом 8. Второй, равный ему прямоугольник имеет с первым общую левую верхнюю вершину A и повёрнут: его короткая сторона AX идёт из A вниз-вправо, вершина X лежит внутри первого прямоугольника у…первый прямоугольник расположен «лёжа» (длинные стороны горизонтальны), его левая сторона подписана числом 8. Второй, равный ему прямоугольник имеет с первым общую левую верхнюю вершину A и повёрнут: его короткая сторона AX идёт из A вниз-вправо, вершина X лежит внутри первого прямоугольника у…
Ответ:
Решение:
14885
Длины сторон $AB$ и $AD$ прямоугольника $ABCD$ равны 20 и 23 соответственно. Пусть $M$ — середина стороны $CD$ и пусть $X$ — такая точка на плоскости, что $A$ — середина отрезка $XM$. Найдите площадь треугольника $XBD$.
Ответ:
Решение:
14886
В прямоугольнике $ABCD$ со сторонами $AB=10$, $BC=12$ отметили точку $M$ — середину стороны $CD$. На отрезке $BM$ отметили точку $P$ так, что $BC=BP$. Найдите площадь четырехугольника $ABPD$.
Ответ:
Решение:
14888
Могут ли две биссектрисы треугольника разбивать его на четыре части равной площади?
Ответ:
Решение:
14889
Из середины каждой стороны остроугольного треугольника площади $S$ проведены перпендикуляры к двум другим сторонам. Найдите площадь шестиугольника, ограниченного этими перпендикулярами.
Ответ:
Решение:
14891
Через точку $P$ проведены три отрезка, параллельные сторонам треугольника $ABC$ (см. рисунок). Докажите, что площади треугольников $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$ равны.
треугольник ABC (основание AC, вершина B сверху) и точка P внутри него. Через P проведены отрезки C_2A_1 AC, A_2B_1 AB и C_1B_2 BC с концами на сторонах треугольника: точки C_2 и C_1 лежат на AB (в порядке A, C_2, C_1, B), точки A_2 и A_1 — на BC (в порядке B, A_2, A_1, C), точки B_1 и B_2 — на…треугольник ABC (основание AC, вершина B сверху) и точка P внутри него. Через P проведены отрезки C_2A_1 AC, A_2B_1 AB и C_1B_2 BC с концами на сторонах треугольника: точки C_2 и C_1 лежат на AB (в порядке A, C_2, C_1, B), точки A_2 и A_1 — на BC (в порядке B, A_2, A_1, C), точки B_1 и B_2 — на…
Ответ:
Решение:
14892
На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $X$ и $Y$ соответственно. Отрезки $CX$ и $AY$ пересекаются в точке $T$. Докажите, что площадь треугольника $XBY$ больше площади треугольника $XTY$.
Ответ:
Решение:
14893
Дана трапеция $ABCD$. Отрезки $AB$ и $CD$ — её боковые стороны — равны 24 и 10 соответственно. На стороне $AB$ отмечены точки $X$ и $Y$ так, что $AX=6$, $XY=8$, $YB=10$. Известно, что расстояния от точек $X$ и $Y$ до прямой $CD$ равны 23 и 27 соответственно.
1. Найдите площадь треугольника $ACD$.
2. Найдите площадь трапеции $ABCD$.
трапеция ABCD с основаниями BC (сверху) и AD (снизу), B слева вверху, A слева внизу; на боковой стороне AB отмечены точки X (ближе к A) и Y (ближе к B); из X и Y проведены перпендикуляры к боковой стороне CD.трапеция ABCD с основаниями BC (сверху) и AD (снизу), B слева вверху, A слева внизу; на боковой стороне AB отмечены точки X (ближе к A) и Y (ближе к B); из X и Y проведены перпендикуляры к боковой стороне CD.
Ответ:
Решение:
14894
Дан бумажный треугольник, длины сторон которого равны 5 см, 12 см и 13 см. Можно ли разрезать его на несколько (больше одного) многоугольников, у каждого из которых площадь (измеренная в см$^2$) численно равна периметру (измеренному в см)?
Ответ:
Решение:
14897
Продолжения медиан $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ треугольника $ABC$ пересекают его описанную окружность в точках $A_0$, $B_0$ и $C_0$ соответственно. Оказалось, что площади треугольников $ABC_0$, $AB_0C$ и $A_0BC$ равны. Докажите, что треугольник $ABC$ равносторонний.
Ответ:
Решение:
14898
Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности $\omega$. Докажите, что диаметр окружности $\omega$ не превосходит длины отрезка, соединяющего середины сторон $BC$ и $AD$.
Ответ:
Решение:
14899
На отрезке $XY$ как на диаметре построена полуокружность и выбрана произвольная точка $Z$ на этом отрезке. Девять лучей из точки $Z$ делят развернутый угол $XZY$ на 10 равных частей и пересекают полуокружность в точках $A_1$, $A_2$, …, $A_9$ соответственно (в порядке обхода от $X$ к $Y$). Докажите, что сумма площадей треугольников $A_2ZA_3$ и $A_7ZA_8$ равна площади четырехугольника $A_2A_3A_7A_8$.
Ответ:
Решение:
14902
Точки $M$ и $N$ — середины сторон $BC$ и $AD$ четырёхугольника $ABCD$. Известно, что $\angle B=150^\circ$, $\angle C=90^\circ$ и $AB=CD$. Найдите угол между прямыми $MN$ и $BC$.
Ответ:
Решение:
14903
Дан четырёхугольник $ABCD$, причём \[AD=BC,\quad \angle DAC=97^\circ,\quad \angle CBD=83^\circ\quad\text{и}\quad \angle BCD=65^\circ.\] Найдите $\angle ACD$ (ответ дайте в градусах).
Ответ:
Решение:
14905
На плоскости отмечены 5 точек. Докажите, что можно выбрать некоторые из них и переместить их так, чтобы расстояние между любыми двумя перемещёнными точками не изменилось, а в результате на плоскости осталось множество из 5 точек, симметричное относительно некоторой прямой.
Ответ:
Решение: