Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1118
Площадь проекции прямой четырёхугольной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с параллелограммом $ABCD$ в основании на плоскость, перпендикулярную её диагонали $AC_1$, равна $\sqrt{41}$. Чему будет равна площадь проекции этой призмы на плоскость, перпендикулярную диагонали $BD_1$, если $AA_1=5$, $AC=12$, $BD=4$?
Ответ:
Решение:
В основании призмы лежит равносторонний треугольник площади 1. Площади её боковых граней равны 3, 3 и 2. Найдите объём призмы.
Ответ:
Решение:
Дана четырёхугольная пирамида $SABCD$, основание которой — прямоугольник $ABCD$. Известно, что $SB\perp ABC$, $AS=\sqrt{3}$, $SD=\sqrt{7}$, а $\angle SAB=30^\circ$. Найдите периметр $ABCD$.
Ответ:
Решение:
Площади оснований усечённой пирамиды равны $12$ и $75$, а высота равна $21$. Найдите её объём.
Ответ:
Решение:
Рассматриваются всевозможные правильные четырёхугольные пирамиды, у которых медианы боковых граней, проведённые из вершины пирамиды, равны $a$.
а) Найдите наибольший возможный объём рассматриваемых пирамид.
б) Для пирамиды наибольшего объёма найдите угол между соседними боковыми гранями.
а) Найдите наибольший возможный объём рассматриваемых пирамид.
б) Для пирамиды наибольшего объёма найдите угол между соседними боковыми гранями.
Ответ:
Решение:
Дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$, в которой $AB=14\sqrt{42}$, $AS=49\sqrt6$. Муравей пробежал по всем боковым граням пирамиды, начав путь в вершине $A$, и вернувшись в эту же вершину. Какой минимальный путь он мог проделать?
Ответ:
Решение:
В основании пирамиды $DABC$ лежит правильный треугольник $ABC$, угол $ACD$ прямой. Сфера с диаметром $BD$ пересекает повторно рёбра $AD$, $AB$ и $CD$ в точках $E$, $F$ и $C$ соответственно. Найдите объём пирамиды $EACF$, если $AB=\sqrt{2}$, $CD=\sqrt{3}$.
Ответ:
Решение:
Рассматриваются четырёхугольные пирамиды $MABCD$ со следующими свойствами: основание пирамиды — выпуклый четырёхугольник $ABCD$, в котором $AB=BC=1$, $CD=DA=2$, а каждая из плоскостей боковых граней $MAB$, $MBC$, $MCD$, $MDA$ составляет угол $45^\circ$ с плоскостью основания.
а) Найдите объём такой пирамиды, если её высота, опущенная из вершины $M$, равна $\dfrac95$.
б) При какой длине высоты объём рассматриваемых пирамид максимален и чему равен этот объём?
а) Найдите объём такой пирамиды, если её высота, опущенная из вершины $M$, равна $\dfrac95$.
б) При какой длине высоты объём рассматриваемых пирамид максимален и чему равен этот объём?
Ответ:
Решение:
Треугольная пирамида $SABC$ ($S$ — вершина) обладает следующими свойствами:
1) длины проекций боковых рёбер на плоскости боковых граней, не содержащих эти рёбра (то есть проекция ребра $SA$ на плоскость грани $SBC$, и так далее), равны между собой;
2) длины проекций боковых рёбер на плоскость основания пирамиды также равны между собой.
Известно, что $\cos\angle ASB=-\dfrac{15}{17}$, $AB=6$. Найдите сумму периметров оснований всех пирамид, обладающих указанными свойствами.
1) длины проекций боковых рёбер на плоскости боковых граней, не содержащих эти рёбра (то есть проекция ребра $SA$ на плоскость грани $SBC$, и так далее), равны между собой;
2) длины проекций боковых рёбер на плоскость основания пирамиды также равны между собой.
Известно, что $\cos\angle ASB=-\dfrac{15}{17}$, $AB=6$. Найдите сумму периметров оснований всех пирамид, обладающих указанными свойствами.
Ответ:
Решение:
Дана треугольная пирамида $SABC$. Известно, что ортогональные проекции ребер $SA$, $SB$, $SC$ на плоскость $ABC$ имеют равные длины. Также равные длины имеют ортогональная проекция ребра $SC$ на плоскость $SAB$ и ортогональная проекция ребра $SB$ на плоскость $SAC$. Найдите отношение $AB:AC$, если известно, что оно не равно 1, а $\sin\angle SAB=\dfrac{10}{\sqrt{149}}$.
Ответ:
Решение:
В треугольной пирамиде боковые грани, имеющие площади \[ \dfrac{1625}{4},\quad \dfrac{1885}{4},\quad 585, \] образуют равные углы с основанием. Площадь основания равна 360. Какой наименьший объём может иметь такая пирамида? Если необходимо, ответ округлите до трёх знаков после запятой.
Ответ:
Решение:
Петя распределяет сумму $63000$ рублей по трём инвестиционным проектам: в первом и втором указана доходность $3\%$ и $5\%$ годовых, а в третьем $6\%$ годовых соответственно. Известно, что только один из проектов принесёт указанную доходность, а два других лишь вернут изначально вложенную сумму. Известно также, что Петя распределил деньги таким образом, чтобы его гарантированный доход (тот, что он получит в наихудшем случае) был как можно большим. Какую сумму он при этом вложил в первый проект?
Ответ:
Решение:
Компания владеет тремя заводами, производящими некоторые приборы. Затраты на поддержание заводов в рабочем состоянии везде одинаковы, а вот затраты непосредственно на производство продукции разные. Выпуск $q$ ($q\in\mathbb{N}$) приборов в месяц потребует на первом заводе $2q^2$ тыс.руб., на втором заводе $2q^2+2q$ тыс.руб., и на третьем $2q^2-q$ тыс.руб. Каждый завод может выпускать до $100$ приборов в месяц. Как нужно распределить производство продукции между заводами, чтобы за месяц выполнить с наименьшими затратами заказ на $250$ приборов?
Ответ:
Решение:
Предприниматель Петров купил в Ростове несколько мешков картошки и продал их в Москве, получив на $90000$ рублей больше, чем потратил. На все вырученные деньги он снова купил в Ростове картошку и продал в Москве. На этот раз прибыль составила $120000$ рублей. Сколько денег он потратил на первую покупку, если цены закупки и продажи мешка картошки не изменились?
Ответ:
Решение:
В лесничестве организовали три пункта $A$, $B$, $C$ подкорма птиц на время зимних холодов. В силу особенностей их расположения в пункт $A$ прилетает больше всего птиц, а в пункт $C$ — меньше всего. Ежедневно на эти три пункта в сумме выделяется $S$ килограммов корма, который распределяется пропорционально количеству птиц, прилетевших в данный пункт накануне. Известно, что:
- 1 января количества птиц, прилетевших в три пункта, составили геометрическую прогрессию;
- 2 января в каждый из пунктов прилетело на $130$ птиц больше, чем 1 января;
- 2 января в пункт $C$ прилетело ровно в $3$ раза меньше птиц, чем в пункт $A$;
- 3 января в пункт $A$ выделили на $2{,}34$ кг меньше корма, чем 2 января;
- 3 января в пункт $C$ выделили на $1{,}56$ кг больше корма, чем 2 января.
Ответ:
Решение:
Площади трёх земельных участков образуют геометрическую прогрессию. С трёх участков берётся налог общей суммы $S$, которая распределяется пропорционально площади участков. Площадь каждого участка увеличили на 13 гектаров, в результате чего площадь большего участка стала ровно в 2 раза больше площади меньшего. Если теперь налог той же суммы $S$ распределить по трём участками пропорционально их площади, то окажется, что с меньшего участка надо взять на 3,5 тысячи рублей больше налога, а с большего на 4 тысячи рублей меньше налога. Найдите первоначальную площадь наименьшего участка. Ответ укажите в гектарах.
Ответ:
Решение:
Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$ вписана в цилиндр (основания призмы вписаны в окружности оснований цилиндра). Плоскость $\alpha$ имеет ровно одну общую точку с каждым из оснований цилиндра и пересекает рёбра $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ в точках $K$, $N$, $P$ соответственно. Найдите отношения $AK:KA_1$ и $CP:PC_1$, если $BN:NB_1=3:4$.
Ответ:
Решение:
Даны два прямых круговых конуса, основания которых — концентрические круги, расположенные в плоскости $\alpha$. Известно, что конусы расположены по одну сторону от плоскости $\alpha$, их объёмы равны 1, а отношение радиусов оснований равно 3. Найдите объём общей части конусов. Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.
Ответ:
Решение:
В основании пирамиды $SABC$ лежит равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB^2=BC^2=160$, $AC^2=320$). Сфера, проходящая через вершины $A$, $B$, $C$, делит рёбра $SA$ и $SC$ пополам и пересекает ребро $SB$ в точке $B_1$. Найдите радиус сферы, если $SB_1=9$, $BB_1=1$. В ответ запишите квадрат радиуса сферы.
Ответ:
Решение:
В треугольной пирамиде $SABC$ из вершины $S$ опустили высоту $SH$. Известно, что $SH=2\sqrt{3}$, $AB\gt BC$, $AB\gt AC$. Сфера, построенная на отрезке $SH$ как на диаметре, проходит через середины четырёх рёбер пирамиды.
а) Найдите длину ребра $AB$ и угол $ACB$.
б) Пусть дополнительно известно, что прямая, проходящая через вершину $C$ и середину ребра $SB$, касается сферы. Найдите объём пирамиды $SABC$.
а) Найдите длину ребра $AB$ и угол $ACB$.
б) Пусть дополнительно известно, что прямая, проходящая через вершину $C$ и середину ребра $SB$, касается сферы. Найдите объём пирамиды $SABC$.
Ответ:
Решение: