Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 198
При каких значениях параметра $a$ система\[\begin{cases}3|x|+4|y|=12,\\x^2+(y-1)^2=a^2,\end{cases}\]имеет нечётное количество решений?
Ответ:
Решение:
Радиус вписанной в треугольник окружности равен $1$, а длины высот выражаются натуральными числами. Найдите стороны треугольника.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике с периметром $60$ см точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности. Найдите стороны треугольника.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ точки $A_0$, $B_0$, $C_0$ — середины сторон $BC$, $CA$, $AB$, а $A_1$, $B_1$, $C_1$ — точки касания этих сторон со вписанной окружностью соответственно. Прямые $A_1C_1$, $B_1C_1$ пересекают $A_0B_0$ в точках $X$ и $Y$. Докажите, что прямая $CC_1$ делит отрезок $XY$ пополам.
Ответ:
Решение:
Вершины $K$, $L$, $M$, $N$ четырёхугольника $KLMN$ лежат соответственно на сторонах $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ квадрата $ABCD$. Найти наименьший возможный периметр четырёхугольника $KLMN$, если известно, что $AK=2$ см, $BK=4$ см и $AN=ND$.
Ответ:
Решение:
На одной из сторон острого угла с вершиной $O$ взяты точки $A$ и $B$, а на другой — точка $C$. При какой длине отрезка $OC$ величина угла $ACB$ максимальна, если $OA=1$, $OB=5$?
Ответ:
Решение:
На плоскости задана точка $P$. Рассматриваются различные равносторонние треугольники $ABC$, такие что $PA=2$, $PB=3$. Какое максимальное значение может принимать длина отрезка $PC$?
Ответ:
Решение:
Прямая $c$ задаётся уравнением $y=2x$. Точки $A$ и $B$ имеют координаты $A(2,2)$ и $B(6,2)$. На прямой $c$ найдите точку $C$, из которой отрезок $AB$ виден под наибольшим углом.
Ответ:
Решение:
Прямая $c$ задаётся уравнением $y=x+1$. Точки $A$ и $B$ имеют координаты $A(1,0)$ и $B(3,0)$. На прямой $c$ найдите точку $C$, из которой отрезок $AB$ виден под наибольшим углом.
Ответ:
Решение:
Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=9$, $BC=2$ и боковыми сторонами $AB=5$, $CD=3\sqrt{2}$. Точка $P$ на прямой $BC$ такова, что периметр треугольника $APD$ наименьший из возможных. Найдите этот периметр.
Ответ:
Решение:
Окружность проходит через вершины $A$ и $C$ треугольника $ABC$, пересекает сторону $AB$ в точке $E$ и сторону $BC$ в точке $F$. Найдите радиус окружности, если $AC=6$, $\angle AEC=5\angle BAF$, $\angle ABC=72^\circ$.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$. На отрезках $AB$ и $BC$ выбраны точки $X$ и $Y$ соответственно так, что $AX=BY$. Оказалось, что точки $A$, $X$, $Y$ и $C$ лежат на одной окружности. Пусть $BL$ — биссектриса треугольника $ABC$ ($L$ на отрезке $AC$). Докажите, что $XL\parallel BC$.
Ответ:
Решение:
Пусть $OP$ — диаметр окружности $\Omega$, $\omega$ — окружность с центром в точке $P$ и радиусом меньше, чем у $\Omega$. Окружности $\Omega$ и $\omega$ пересекаются в точках $C$ и $D$. Хорда $OB$ окружности $\Omega$ пересекает вторую окружность в точке $A$. Найдите длину отрезка $AB$, если $BD\cdot BC=5$.
Ответ:
Решение:
Изобразите на координатной плоскости множество точек $(a,b)$ таких, что система уравнений \[ \begin{cases} x^2+y^2=a^2,\\ x+y=b \end{cases} \] имеет хотя бы одно решение.
Ответ:
Решение:
Плоская фигура $W$ представляет собой множество всех точек, координаты которых $(x,y)$ удовлетворяют неравенству \[ \bigl(|x|+\bigl|4-|y|\bigr|-4\bigr)^2\leqslant4. \] Нарисуйте фигуру $W$ и найдите её площадь.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ длины сторон равны $4$, $5$ и $\sqrt{17}$. Найдите площадь фигуры, состоящей из тех и только тех точек $X$ внутри треугольника $ABC$, для которых выполняется условие $XA^2+XB^2+XC^2\leqslant 21$.
Ответ:
Решение:
Изобразите (с обоснованием) на координатной плоскости $Oxy$ множество решений неравенства \[ \bigl(y^2-\arcsin^2(\sin x)\bigr)\left(y^2-\arcsin^2\left(\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\right)\right)\left(y^2-\arcsin^2\left(\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\right)\right)\lt 0. \]
Ответ:
Решение:
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ прямые $AD$ и $BC$ перпендикулярны, а длина отрезка, соединяющего середины диагоналей $BD$ и $AC$, равна $2013$. Найдите длину отрезка, соединяющего середины сторон $CD$ и $AB$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике $ABC$ на катете $AC$ как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу $AB$ в точке $E$. Через точку $E$ проведена касательная к окружности, которая пересекает катет $CB$ в точке $D$. Найдите длину $DB$, если $AE=6$, а $BE=2$.
Ответ:
Решение:
Точка $O$ лежит внутри равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$. Расстояние от неё до вершины $A$ прямого угла равно $6$, до вершины $B$ равно $4$, до вершины $C$ равно $8$. Найти площадь треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение: