Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 306
Мастер работал с плиткой в форме прямоугольника $a\times b$, длины сторон которого $a$ и $b$ — целые числа, причем $1\lt \dfrac{b}{a}\lt 2$. Ему удалось, не разрезая плиток, уложить ею две прямоугольные стены размерами $70\times66$ и $102\times39$. Найти $a$ и $b$. Сколько плиток при этом было использовано?
Ответ:
Решение:
В тетради написаны $n$ целых чисел, упорядоченных по убыванию $a_1\gt a_2\gt \ldots\gt a_n$ и имеющих сумму $120$. Известно, что $k$-ое по порядку написанное число $a_k$, кроме последнего, полученного при $k=n$, в $(k+1)$ раз меньше суммы всех остальных написанных чисел. Найти максимальное число $n$, возможное при этих условиях. Найти эти числа для максимально возможного $n$.
Ответ:
Решение:
Длины ребер $a_1$, $a_2$, $a_3$ и $b_1$, $b_2$, $b_3$ прямоугольных параллелепипедов $P_A$ и $P_B$ — целые числа. Если в параллелепипеде $P_A$ увеличить на $1$ длину одного из ребер $a_1$, $a_2$ или $a_3$, то отношение объемов $V_A:V_B$ изменится на $3$, $5$ или на $7$ единиц соответственно. Найти наименьшее возможное при этих условиях значение отношения объемов $V_A:V_B$.
Ответ:
Решение:
Доказать, что сумма $1+\dfrac12+\dfrac13+\ldots+\dfrac{1}{346}$ представляет собой дробь, числитель которой делится на $347$.
Ответ:
Решение:
При каких натуральных $n$ уравнение $\log_2 x+\log_2 x^3+\log_2 x^5+\ldots+\log_2 x^{2n-1}=5040$ имеет рациональное решение?
Ответ:
Решение:
Сколько существует натуральных чисел $k$, для которых перевод обыкновенной дроби $\dfrac{2k+3}{2k}$ в десятичную приведет к конечной десятичной дроби с $100$ знаками после запятой?
Ответ:
Решение:
При каких натуральных $n$ дробь $\dfrac{2}{n}$ может быть представлена периодической десятичной дробью вида $0{,}1(a_1a_2)$ с периодом, содержащим две различные цифры?
Ответ:
Решение:
Найти первые 100 цифр после запятой в десятичной форме записи числа $\left(7+4\sqrt{3}\right)^{2023}$.
Ответ:
Решение:
Целые числа $x$ и $y$ связаны уравнением $2x-3y=1$ и имеют вид \[ x=12a+b\sqrt5,\quad y=ba^{-1}+3\sqrt5 \] для некоторых чисел $a$ и $b$. Найти $x$, $y$ и $a$, если известно, что число $b$ рациональное.
Ответ:
Решение:
Найти целые положительные числа $x$ и $y$, для которых $x+y=12$ и \[ x\cdot\text{НОД}(x,y)=\text{НОК}(x,y). \]
Ответ:
Решение:
Найти целые положительные $n$, при которых уравнение $x^2-a_nx-a_{n+1}=0$ имеет рациональные корни, где $a_n=\text{НОД}(6,n)$.
Ответ:
Решение:
Сколько различных пар целых чисел $x$ и $y$, $1\leqslant x\leqslant 100$, $1\leqslant y\leqslant 100$ удовлетворяют уравнению $\text{НОД}\,(\log_2 x, 36)=\log_3^2 y$? Найти эти пары.
Ответ:
Решение:
Сколько существует пар натуральных чисел $(a,b)$, у которых $\text{НОК}(a,b)=2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7^2=17640$, а $\text{НОД}(a,b)=12$? Среди всех таких пар указать ту, для которой $a+b$ принимает минимально возможное значение и найти это значение (пары $(a,b)$ и $(b,a)$ считать за одну).
Ответ:
Решение:
Известно, что дробь $\frac{m(n+69m)}{n(m+69n)}$ сократимая для некоторых взаимно простых целых чисел $m$ и $n$. Найти наибольшее простое число $d$, на которое делится числитель и знаменатель дроби.
Ответ:
Решение:
Доказать, что существует набор натуральных чисел $a_1,a_2,\ldots,a_{2019}$, для которых \[ 2\cdot\text{НОК}\,(a_1,a_2,\ldots,a_{2019})=a_1+a_2+\ldots+a_{2019}. \]
Ответ:
Решение:
Сколько существует натуральных чисел $n\leqslant 2020$, для которых дробь $\frac{6n^3+n^2-5n+12}{6n^2+7n+2}$ сократимая?
Ответ:
Решение:
Найти наибольшее значение выражения \[ F=\dfrac{(5n-18)\,\text{НОД}(n+9,n+2)}{\text{НОК}(n+9,n+2)} \] на множестве натуральных чисел. При каком $n$ оно достигается?
Ответ:
Решение:
Для каждого целого положительного $x$ найти наибольший общий делитель чисел $P_1(x)=x^3+5x^2+4x+15$ и $P_2(x)=x^4+5x^3+15x+3$.
Ответ:
Решение:
Петя написал в своей тетради многочлен $P(x)$ с целыми коэффициентами и предложил Васе угадать его степень. Вася задал Пете два вопроса: «Чему равно значение многочлена при $x=-3$?» и «Чему равен остаток от деления многочлена на $(x-n)$, где $n$ — его степень?». Получив ответы $1$ и $6$ соответственно, Вася уверенно назвал степень многочлена. Как он это сделал? Какова степень многочлена?
Ответ:
Решение:
Многочлен $P(x)$ с целыми коэффициентами удовлетворяет условию $P(17)=P(23)=2023$. Найти наименьшее возможное при этих условиях значение $P(0)\gt 0$.
Ответ:
Решение: