Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1597
Рассмотрим правильную десятиугольную призму $A_1A_2\ldots A_{10}B_1B_2\ldots B_{10}$. Найдите количество прямых, проходящих через две вершины этой призмы и скрещивающихся с диагональю $A_1B_6$.
Ответ:
Решение:
Женя взял доску $3\times3$ и на каждую клетку поставил столбик из синих и красных кубиков. Потом он зарисовал схему получившейся расстановки: подписал количество кубиков обоих цветов в каждом столбике (порядок кубиков неизвестен).
Какое наибольшее количество синих кубиков может увидеть Женя, если посмотрит на конструкцию спереди? (Например, если перед столбиком из 8 кубиков стоит столбик из 5, то будет видно все 5 кубиков ближнего столбика и только 3 верхних кубика дальнего столбика.)
Какое наибольшее количество синих кубиков может увидеть Женя, если посмотрит на конструкцию спереди? (Например, если перед столбиком из 8 кубиков стоит столбик из 5, то будет видно все 5 кубиков ближнего столбика и только 3 верхних кубика дальнего столбика.)
Ответ:
Решение:
Женя покрасил три грани белого кубика $6\times6\times6$ в красный цвет. Затем он распилил его на 216 одинаковых маленьких кубиков $1\times1\times1$. Сколько у него могло получиться маленьких кубиков без красных граней? Укажите все возможные варианты.
Ответ:
Решение:
На четырёх рисунках изображена одна и та же фигура с разных сторон, а на одном рисунке изображена другая фигура. Выберите номер фигуры, отличающейся от остальных.
Ответ:
Решение:
Конфеты имеют форму кубиков $1\times1\times1$. Учитель сложил из них параллелепипед $3\times4\times5$ и предложил детям угощаться. В первую минуту Петя взял одну из угловых конфет (см. рисунок). Каждую следующую минуту дети забирали все конфеты, у которых была соседняя грань с уже отсутствующими конфетами (например, во вторую минуту забрали 3 конфеты). За сколько минут дети разобрали все конфеты?
Ответ:
Решение:
Есть 7 абсолютно одинаковых кубиков, у которых отмечены на одной грани 3 точки, на двух гранях по 2 точки, на остальных по 1. Из этих кубиков склеили фигуру в виде буквы «П», изображённую на рисунке, причём количество точек на любых двух соприкасающихся гранях одинаково.
Что находится на трёх левых гранях $A$, $B$ и $C$?
Что находится на трёх левых гранях $A$, $B$ и $C$?
Ответ:
Решение:
Есть 4 абсолютно одинаковых кубика, у каждого из которых на одной грани отмечены 6 точек, на другой — 5, …, на оставшейся — 1. Известно, что на любых двух противоположных гранях кубика суммарно 7 точек.
Из этих 4 кубиков склеили фигуру, изображённую на рисунке. Известно, что на каждой паре склеенных граней отмечено одинаковое количество точек. Сколько точек на гранях $A$, $B$, $C$?
Из этих 4 кубиков склеили фигуру, изображённую на рисунке. Известно, что на каждой паре склеенных граней отмечено одинаковое количество точек. Сколько точек на гранях $A$, $B$, $C$?
Ответ:
Решение:
Яша сложил две фигуры из кубиков как показано на рисунке. В общей сложности он использовал 35 кубиков. Чтобы окрасить поверхность первой фигуры (включая поверхность, которая соприкасается с полом), Яша использовал 162 грамма краски. Сколько грамм краски необходимо для того, чтобы окрасить поверхность второй фигуры?
Ответ:
Решение:
Федя вырезал из клетчатого листа бумаги одну из красных фигурок, изображенных ниже.
Затем он наклеил её на поверхность белого кубика. Получилось, как на рисунке ниже:
Выберите, какую из фигурок взял Федя.
Затем он наклеил её на поверхность белого кубика. Получилось, как на рисунке ниже:
Выберите, какую из фигурок взял Федя.
Ответ:
Решение:
У Веры есть 27 кубиков с ребром 1 см: 9 красных и 18 синих. Она сложила из них куб с ребром 3 см. Может ли на поверхности куба количество красных квадратиков со стороной 1 см равняться количеству таких же синих?
Ответ:
Решение:
На одной грани игрального кубика нарисована одна точка, на другой грани — две, на третьей — три, и т. д. Четыре одинаковых игральных кубика сложены так, как показано на рисунке. Сколько в общей сложности точек находится на 6 гранях, которыми касаются кубики?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Петя на ребре $AB$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметил точку $X$, делящую ребро $AB$ в отношении $1:2$, считая от вершины $A$. Приведите пример, как Петя может отметить на рёбрах $CC_1$ и $A_1D_1$ соответственно точки $Y$ и $Z$, чтобы треугольник $XYZ$ был равносторонним. Пример обоснуйте.
Ответ:
Решение:
Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Точка $P$ — середина ребра $AA_1$, точка $Q$ — середина ребра $CD$, точка $R$ — середина ребра $B_1C_1$. Докажите, что $\angle PB_1Q\lt \angle PRQ$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ площадь треугольника $BCC_1$ равна 1, треугольника $ACC_1$ — 34.
1. Пусть $S$ — площадь треугольника $CDC_1$. Найдите $S^2$.
2. Оказалось, что площадь треугольника $ABC_1$ равна 46. Чему равна площадь треугольника $ABC$?
1. Пусть $S$ — площадь треугольника $CDC_1$. Найдите $S^2$.
2. Оказалось, что площадь треугольника $ABC_1$ равна 46. Чему равна площадь треугольника $ABC$?
Ответ:
Решение:
Боковые грани пирамиды — четыре равных равнобедренных треугольника. На этих гранях проведены отрезки, параллельные основанию, как показано на чертеже. Длины путей, отмеченные на чертежах красным, соответственно равны $a$, $b$ и $c$.
Выберите верное утверждение:
a) $c\gt b=a$,
b) $b=c\gt a$,
c) $a=b=c$,
d) $a\lt b\lt c$.
Выберите верное утверждение:
a) $c\gt b=a$,
b) $b=c\gt a$,
c) $a=b=c$,
d) $a\lt b\lt c$.
Ответ:
Решение:
В треугольной пирамиде $SABC$ боковое ребро $SA$ перпендикулярно основанию $ABC$. Известно, что биссектрисы плоских углов $BAC$ и $BSC$ пересекаются. Докажите, что углы $ABC$ и $ACB$ равны.
Ответ:
Решение:
Существует ли тетраэдр $ABCD$, в котором $AB=AC=AD=BC$, а суммы плоских углов при каждой из вершин $B$ и $C$ равны по $150^\circ$?
Ответ:
Решение:
Каждая боковая грань пирамиды является прямоугольным треугольником, в котором прямой угол примыкает к основанию пирамиды. В пирамиде проведена высота. Может ли она лежать внутри пирамиды?
Ответ:
Решение:
Дана треугольная пирамида $ABCD$ с плоскими прямыми углами при вершине $D$, в которой $CD=AD+DB$. Докажите, что сумма плоских углов при вершине $C$ равна $90^\circ$.
Ответ:
Решение: