Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 331
Найдите все решения системы в натуральных числах:\[\begin{cases}a^3+b=c(a^2+b^2),\\ a+b^3=d(a^2+b^2).\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
Известно, что $m$, $n$, $k$ — различные натуральные числа, большие 1, число $\log_mn$ рационально, и, кроме того, \[ k^{\sqrt{\log_mn}}=m^{\sqrt{\log_nk}}. \] Найдите минимальное из возможных значений суммы $k+5m+n$.
Ответ:
Решение:
На доске было написано 21 последовательное натуральное число. Когда одно из чисел стёрли, сумма оставшихся стала равна 2017. Какое число стёрли?
Ответ:
Решение:
Маша, скучая на уроке математики, проделала с некоторым 2015-значным натуральным числом следующую операцию: от десятичной записи этого числа она отбросила последнюю цифру и к умноженному на 3 получившемуся числу прибавила удвоенную отброшенную цифру. С полученным числом она опять проделала ту же операцию и так далее. После многократного применения этой операции получающиеся у Маши числа перестали меняться, и тогда она остановилась.
а) Какое число оказалось у Маши в конце?
б) Какое наименьшее число могло быть у Маши в самом начале (укажите две его последние цифры)?
а) Какое число оказалось у Маши в конце?
б) Какое наименьшее число могло быть у Маши в самом начале (укажите две его последние цифры)?
Ответ:
Решение:
Число $\dfrac{1711}{2011}$ обратили в бесконечную десятичную дробь, затем стёрли первую цифру после запятой и обратили получившуюся десятичную дробь в обыкновенную. Какую дробь получили?
Ответ:
Решение:
Вычислите $\sqrt{n}+\sqrt{n+524}$, если известно, что это число рациональное и что $n$ — натуральное.
Ответ:
Решение:
Найдите все натуральные значения $n$, удовлетворяющие уравнению \[ 2002\left[n\sqrt{1001^2+1}\right]=n\left[2002\sqrt{1001^2+1}\right], \] где $[x]$ — наибольшее целое число, не превосходящее числа $x$.
Ответ:
Решение:
Какие значения может принимать наибольший общий делитель натуральных чисел $m$ и $n$, если при увеличении числа $m$ на 6 он увеличивается в 4 раза?
Ответ:
Решение:
На клетчатой бумаге отмечен прямоугольник размером $m\times n$ клеток, причём числа $m$ и $n$ взаимно просты и $m\lt n$. Диагональ этого прямоугольника не пересекает ровно 116 его клеток. Найдите все возможные значения $m$ и $n$ при данных условиях.
Ответ:
Решение:
Натуральные числа $a$, $b$ и $c$ таковы, что \[ \text{НОК}(a,b)=60\quad\text{и}\quad\text{НОК}(a,c)=270 \] ($\text{НОК}(x,y)$ — наименьшее общее кратное чисел $x$ и $y$.) Найдите $\text{НОК}(b,c)$.
Ответ:
Решение:
Последовательность задана рекуррентным соотношением $a_1=a_2=1$, $a_{n+1}=a_n\cdot a_{n-1}+3$. Может ли число $a_{2015}-a_{2011}-39$ быть простым?
Ответ:
Решение:
Расстояние между корнями квадратного трёхчлена $x^2+px+q$ равно 1. Найдите коэффициенты $p$ и $q$, если известно, что они являются простыми числами.
Ответ:
Решение:
Сколько существует делителей числа $2021^{2021}$, кубический корень из которых является натуральным числом?
Ответ:
Решение:
а) Найдите количество натуральных делителей числа $N=1\underbrace{00\ldots0}_{40}$, не являющихся ни точными квадратами (т. е. квадратами натуральных чисел), ни точными кубами;
б) … не представимых в виде $m^n$, где $m$ и $n$ — натуральные числа, причём $n\gt 1$.
б) … не представимых в виде $m^n$, где $m$ и $n$ — натуральные числа, причём $n\gt 1$.
Ответ:
Решение:
Про натуральные числа $m$ и $n$ известно, что $3n^3=5m^2$. Найдите наименьшее возможное значение $m+n$.
Ответ:
Решение:
Найдите разложение на простые множители наименьшего натурального числа, имеющего ровно 2020 различных натуральных делителей.
Ответ:
Решение:
В группу из 17 детей присланы подарки двух видов: каждый подарок первого вида содержит 4 пряника и 9 конфет, а второго — 3 пряника и 11 конфет. Объединив эти подарки, все пряники разделили между детьми поровну. Могло ли случиться при этом, что конфеты разделить поровну не удалось?
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее натуральное число, обладающее следующим свойством: остаток от его деления на 20 на единицу меньше остатка от его деления на 21, а остаток от его деления на 22 равен 2.
Ответ:
Решение:
При каком наименьшем по модулю значении параметра $\alpha$ уравнение \[ 1234\sin^{20}\left(x-\frac{\pi}{3}\right)-789\cos^{23}\left(\alpha x-\frac{\pi}{4}\right)=2023 \] имеет решение на отрезке $[-\pi;\pi]$?
Ответ:
Решение: