Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1597
Пусть $x_1\lt x_2\lt \ldots\lt x_{2024}$ — возрастающая последовательность натуральных чисел. При $i=1, 2, \ldots, 2024$ обозначим \[ p_i=\left(x_1-\dfrac{1}{x_1}\right)\left(x_2-\dfrac{1}{x_2}\right)\ldots\left(x_i-\dfrac{1}{x_i}\right). \] Какое наибольшее количество натуральных чисел может содержаться среди чисел $p_1$, $p_2$, …, $p_{2024}$?
Ответ:
Решение:
Назовём натуральное число $m$ привлекательным, если равенство \[\left\lfloor\dfrac{2024}{n}\right\rfloor=m\] не выполняется ни для какого натурального $n$. Напомним, что $\lfloor x\rfloor$ обозначает целую часть числа $x$.
1. Найдите наименьшее привлекательное число.
2. Найдите количество привлекательных чисел, не превосходящих 2024.
1. Найдите наименьшее привлекательное число.
2. Найдите количество привлекательных чисел, не превосходящих 2024.
Ответ:
Решение:
Назовём непустое (конечное или бесконечное) множество $A$, состоящее из натуральных чисел, полным, если для любых натуральных $a$ и $b$ (не обязательно различных и не обязательно лежащих в $A$), при которых $a+b$ лежит в $A$, число $ab$ также лежит в $A$. Найдите все полные множества натуральных чисел.
Ответ:
Решение:
На доске написаны $n\gt 3$ различных натуральных чисел, меньших, чем \[(n-1)!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot(n-1).\] Для каждой пары этих чисел Серёжа поделил большее на меньшее с остатком и записал в тетрадку полученное неполное частное (так, если бы он делил 100 на 7, то он бы получил $100=14\cdot7+2$ и записал бы в тетрадку число 14). Докажите, что среди чисел в тетрадке найдутся два равных.
Ответ:
Решение:
По кругу расставили 2026 попарно различных иррациональных чисел и для каждой пары стоящих рядом чисел $a$ и $b$ вычислили значение выражения $\dfrac{ab}{a-b}$. Может ли ровно одно из 2026 полученных значений быть иррациональным?
Ответ:
Решение:
На доске написаны $N\geqslant9$ различных неотрицательных чисел, меньших единицы. Оказалось, что для любых восьми различных чисел с доски на ней найдётся девятое, отличное от них, такое, что сумма этих девяти чисел целая. При каких $N$ это возможно?
Ответ:
Решение:
В координатном пространстве провели все плоскости с уравнениями $x\pm y\pm z=n$ (при всех целых $n$). Они разбили пространство на тетраэдры и октаэдры. Пусть точка $(x_0,y_0,z_0)$ с рациональными координатами не лежит ни в одной проведённой плоскости. Докажите, что найдётся натуральное $k$, при котором точка $(kx_0,ky_0,kz_0)$ лежит строго внутри некоторого октаэдра разбиения.
Ответ:
Решение:
На доску записали три рациональных положительных числа. Каждую минуту числа $x$, $y$, $z$ на доске стираются, а вместо них выписываются числа $x+\frac{1}{yz}$, $y+\frac{1}{zx}$, $z+\frac{1}{xy}$. Докажите, что начиная с некоторого момента на доске не будет появляться целых чисел.
Ответ:
Решение:
Учительница Мария Ивановна готовит задания для урока математики. Она хочет в уравнении \[\frac{1}{x+a}+\frac{1}{x+b}=\frac{1}{c}\] вместо $a$, $b$ и $c$ поставить три различных натуральных числа, чтобы корни уравнения были целыми числами. Помогите ей: подберите такие числа и решите уравнение.
Ответ:
Решение:
На доске была написана несократимая дробь. Петя уменьшил её числитель на 1, а знаменатель на 2. А Вася прибавил к числителю 1, а знаменатель оставил без изменений. Оказалось, что в результате мальчики получили одинаковые значения. Какой именно результат у них мог получиться?
Ответ:
Решение:
Игорь сложил десять подряд идущих натуральных чисел, затем разделил полученную сумму на сумму следующих десяти натуральных чисел. Могло ли у него получиться число 0,8?
Ответ:
Решение:
Два арбуза, дыня и четыре нектарина стоят 1000 рублей, а арбуз, две дыни и два нектарина — на 50 рублей дешевле. Сколько стоит набор из арбуза, дыни и двух нектаринов? Ответ выразите в рублях.
Ответ:
Решение:
Андрей, Борис и Влад зашли в магазин. Андрей купил 1 мороженое, 2 булочки и 3 шоколадки и заплатил за это 235 рублей. Борис купил 3 порции мороженого, 2 булочки и 1 шоколадку и заплатил за это 205 рублей. Сколько рублей должен будет заплатить Влад, если он купит 6 порций мороженого, 5 булочек и 4 шоколадки?
Ответ:
Решение:
Про положительные числа $a$, $b$, $c$ известно, что \[\dfrac{a+b+c}{a+b-c}=7,\qquad \dfrac{a+b+c}{a+c-b}=1{,}75.\] Чему равняется $\frac{a+b+c}{b+c-a}$?
Ответ:
Решение:
В очереди в буфет стоят несколько семиклассников и восьмиклассников. Если бы каждый семиклассник купил по 3 булочки, а каждый восьмиклассник — по 1, то в буфете осталось бы 13 булочек. А если бы каждый семиклассник купил по 1 булочке, а каждый восьмиклассник — по 3, то в буфете осталось бы 27 булочек. Сколько булочек осталось бы в буфете, если бы каждый из школьников купил по 2 булочки?
Ответ:
Решение:
Саша и Маша пришли в магазин. Саша купил 3 пакета молока, 7 пачек творога и 5 йогуртов. Маша купила 2 пакета молока, 10 пачек творога и 6 йогуртов. Саша потратил на всё 980 рублей, а Маша потратила 1160 рублей. Сколько суммарно стоит один пакет молока, одна пачка творога и один йогурт?
Ответ:
Решение:
Жора задумал три натуральных числа $a$, $b$, $c$. Чему могут равняться \[a+b,\quad b+c\quad\text{и}\quad c+a?\]
a) 102, 201, 300;
b) 201, 302, 403;
c) 201, 303, 606;
d) 302, 305, 507;
e) 301, 403, 505.
a) 102, 201, 300;
b) 201, 302, 403;
c) 201, 303, 606;
d) 302, 305, 507;
e) 301, 403, 505.
Ответ:
Решение:
На шоссе в указанном порядке расположены 5 городов: $A$, $B$, $C$, $D$, $E$. Для каждого из них посчитали суммарное расстояние до всех остальных городов, получились числа на картинке.
а) Чему равно расстояние между городами $A$ и $E$?
б) Чему равно расстояние между городами $A$ и $B$?
а) Чему равно расстояние между городами $A$ и $E$?
б) Чему равно расстояние между городами $A$ и $B$?
Ответ:
Решение:
Вдоль прямолинейного участка границы установлено 15 столбов. Около каждого столба поймали нескольких близоруких шпионов. Каждый из них честно сказал, сколько других шпионов он видел. Но любой шпион видел только тех, кто находился около его столба и около ближайших соседних столбов. Можно ли по этим данным восстановить численность шпионов, пойманных около каждого столба?
Ответ:
Решение: