Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 258
Окружность с центром на диагонали $AC$ параллелограмма $ABCD$ касается прямой $AB$ и проходит через точки $C$ и $D$. Найти стороны параллелограмма, если его площадь $S=\sqrt2$, а $\angle BAC=\arcsin\frac13$.
Ответ:
Решение:
В параллелограмме $ABCD$ прямые $l_1$ и $l_2$ являются биссектрисами углов $A$ и $C$ соответственно, а прямые $m_1$ и $m_2$ — биссектрисами углов $B$ и $D$ соответственно. Расстояние между $l_1$ и $l_2$ в $\sqrt3$ раз меньше расстояния между $m_1$ и $m_2$. Найти угол $BAD$ и радиус окружности, вписанной в треугольник $ABD$, если $AC=\sqrt{22/3}$, $BD=2$.
Ответ:
Решение:
Параллелограмм $ABCD$ имеет площадь 4. Окружность с центром в точке $O$, расположенной на отрезке $AD$, касается отрезков $AB$, $BC$ и прямой $CD$ в точках $M$, $N$ и $K$ соответственно. Найти радиус этой окружности и стороны параллелограмма $ABCD$, если $\dfrac{CK}{BM}=3$.
Ответ:
Решение:
Даны треугольник $ABC$ и ромб $BDEF$, все вершины которого лежат на сторонах треугольника $ABC$, а угол при вершине $E$ — тупой. Найти площадь треугольника $ABC$, если $AE=3$, $CE=7$, а радиус окружности, вписанной в ромб, равен $1$.
Ответ:
Решение:
Сторона ромба $ABCD$ равна $6$. Расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников $ABC$ и $BCD$, равно $8$. Найти радиусы этих окружностей.
Ответ:
Решение:
Через вершины $A$, $B$ и $C$ трапеции $ABCD$ ($AD\parallel BC$) проведена окружность. Известно, что окружность касается прямой $CD$, а ее центр лежит на диагонали $AC$. Найти площадь трапеции $ABCD$, если $BC=2$, $AD=8$.
Ответ:
Решение:
Окружность с центром на диагонали $AC$ трапеции $ABCD$ ($BC\parallel AD$) проходит через вершины $A$ и $B$, касается стороны $CD$ в точке $C$ и пересекает основание $AD$ в точке $E$. Найти площадь трапеции $ABCD$, если $CD=6\sqrt{13}$, $AE=8$.
Ответ:
Решение:
В равнобедренной трапеции $ABCD$ ($BC\parallel AD$) окружность касается основания $BC$, боковых сторон $AB$ и $CD$ и проходит через точку пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Найти радиус окружности, если $AD:BC=9:7$, а площадь трапеции $S=8$.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ с меньшим основанием $BC$ и площадью, равной 2, прямые $BC$ и $AD$ касаются окружности диаметром $\sqrt{2}$ в точках $B$ и $D$ соответственно. Боковые стороны трапеции $AB$ и $CD$ пересекают окружность в точках $M$ и $N$ соответственно. Длина $MN$ равна 1. Найти величину угла $MBN$ и длину основания $AD$.
Ответ:
Решение:
Высота равнобедренной трапеции $ABCD$ равна 16, а её диагонали пересекаются в точке $O$. Окружность радиуса 3 с центром в точке $O$ касается меньшего основания $BC$ и боковой стороны $CD$ трапеции. Найти основания трапеции.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ равны $a$ и $b$ соответственно, угол $BCD$ равен $\alpha$. Окружность, проходящая через точки $B$, $C$ и $D$, касается прямой $AB$. Найти радиус этой окружности.
Ответ:
Решение:
Через середину гипотенузы $AC$ прямоугольного треугольника $ABC$ проведена прямая, пересекающая катет $BC$ в точке $D$, а продолжение катета $AB$ за точку $A$ — в точке $E$. Найти площадь треугольника $ABC$, если $CD=1$, $AE=2$, $\angle CAB=\arccos\frac35$.
Ответ:
Решение:
Найти острые углы и площадь прямоугольного треугольника, если угол между медианой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла треугольника, равен $\alpha$, а длина биссектрисы равна $l$.
Ответ:
Решение:
Среди первых ста членов арифметической прогрессии с положительной разностью есть числа $\dfrac{13}{6}$, $\dfrac{75}{2}$ и $\dfrac{389}{6}$. Найти разность этой прогрессии. Найти наименьшее из возможных значений первого члена этой прогрессии.
Ответ:
Решение:
Найти действительные решения системы уравнений \[ \begin{cases} x^2-4x-2y-1=0,\\ y^2-2x+6y+14=0. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Найти действительные решения системы уравнений \[\begin{cases}xy+\dfrac{y^4}{x}=\dfrac{x^2}{y}+y^2,\\ \dfrac{1}{y}+\dfrac{y^2}{x^2}+\dfrac{4}{x^2}=0.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
Найти все действительные решения системы уравнений \[\begin{cases}x^5+4x^4+5y^2=0,\\ x^3-\dfrac{y^3}{x^2}=xy-y^2.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
Найти все действительные решения системы уравнений \[\begin{cases} 1+\dfrac{1}{xy}=\dfrac{x-y}{x^2y^2}+\dfrac{xy}{x-y},\\ \dfrac{x-y}{xy}\sqrt{x-y}=2-xy.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Решить систему уравнений \[ \begin{cases} x^2+xy-2y^2+8x+10y+12=0,\\ x^2+3xy+2y^2-x+y-6=0. \end{cases} \]
Ответ:
Решение: