Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 383
Для $n=1,2,3$ будем называть числом $n$-го типа любое число, которое либо равно $0$, либо входит в бесконечную геометрическую прогрессию $1,(n+2),(n+2)^2,\ldots$, либо является суммой нескольких различных её членов. Докажите, что любое натуральное число можно представить в виде суммы числа первого типа, числа второго типа и числа третьего типа.
Ответ:
Решение:
Таблица размером $2017\times2017$ заполнена ненулевыми цифрами. Среди $4034$ чисел, десятичные записи которых совпадают со строками и столбцами этой таблицы, читаемыми слева направо и сверху вниз соответственно, все, кроме одного, делятся на простое число $p$, а оставшееся число на $p$ не делится. Найдите все возможные значения $p$.
Ответ:
Решение:
Назовем тройку чисел триплетом, если одно из них равно среднему арифметическому двух других. Последовательность $(a_n)$ строится следующим образом: $a_0=0$, $a_1=1$ и при $n\gt 1$ число $a_n$ — такое минимальное натуральное число, большее $a_{n-1}$, что среди чисел $a_0, a_1, \ldots, a_n$ нет трёх, образующих триплет. Докажите, что $a_{2023}\leqslant 100\,000$.
Ответ:
Решение:
Про четыре целых числа $a$, $b$, $c$, $d$ известно, что \[ a+b+c+d=ab+bc+cd+da+1. \] Докажите, что модули каких-то двух из этих чисел отличаются на один.
Ответ:
Решение:
Докажите, что если при $n\in\mathbb{N}$ число $2+2\sqrt{12n^2+1}$ целое, то оно — точный квадрат.
Ответ:
Решение:
Существует ли бесконечное множество $S$, состоящее из квадратов натуральных чисел, такое, что для любых двух различных $x$ и $y$ из $S$ найдётся $z$ из $S$ (возможно, совпадающее с $x$ или $y$), для которого $x+y+z$ — квадрат натурального числа?
Ответ:
Решение:
Существует ли арифметическая прогрессия из $2011$ натуральных чисел, в которой количество чисел, делящихся на $8$, меньше, чем количество чисел, делящихся на $9$, а последнее, в свою очередь, меньше, чем количество чисел, делящихся на $10$?
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее натуральное число, кратное $80$, в котором можно так переставить две его различные цифры, что получившееся число также будет кратно $80$.
Ответ:
Решение:
Приведите пример девятизначного натурального числа, которое делится на $2$, если зачеркнуть вторую (слева) цифру, на $3$ — если зачеркнуть в исходном числе третью цифру, $\ldots$, делится на $9$, если в исходном числе зачеркнуть девятую цифру.
Ответ:
Решение:
Приведите пример числа, делящегося на 2020, в котором каждая из десяти цифр встречается одинаковое количество раз.
Ответ:
Решение:
На доске записано натуральное число. Если у него стереть последнюю цифру (в разряде единиц), то останется ненулевое число, которое будет делиться на $20$, а если первую — то на $21$. Какое наименьшее число может быть записано на доске, если его вторая цифра не равна $0$?
Ответ:
Решение:
По кругу в некотором порядке расставлены все натуральные числа от 1 до 1000 таким образом, что каждое из чисел является делителем суммы двух своих соседей. Известно, что рядом с числом $k$ стоят два нечётных числа. Какой чётности может быть число $k$?
Ответ:
Решение:
Все натуральные числа, бо́льшие единицы, раскрасили в два цвета — синий и красный — так, что сумма любых двух синих (в том числе одинаковых) — синяя, а произведение любых двух красных (в том числе одинаковых) — красное. Известно, что при раскрашивании были использованы оба цвета и что число $1024$ покрасили в синий цвет. Какого цвета при этом могло оказаться число $2017$?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Существует ли натуральное число, делящееся на 2020, в котором всех цифр $0, 1, 2, \ldots, 9$ поровну?
Ответ:
Решение:
На доске написаны три натуральных числа, не превосходящих 40. За один ход можно увеличить любое из написанных чисел на число процентов, равное одному из двух оставшихся чисел, если в результате получится целое число. Существуют ли такие исходные числа, что за несколько ходов одно из чисел на доске можно сделать больше 2011?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Рациональные числа $x$, $y$ и $z$ таковы, что все числа $x+y^2+z^2$, $x^2+y+z^2$ и $x^2+y^2+z$ целые. Верно ли, что число $2x$ целое?
Ответ:
Решение:
Докажите, что для любых натуральных $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_k$ таких, что \[\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_k}\gt 1,\] у уравнения \[\left[\frac{n}{a_1}\right]+\left[\frac{n}{a_2}\right]+\ldots+\left[\frac{n}{a_k}\right]=n\] не больше чем $a_1a_2\ldots a_k$ решений в натуральных числах. ($[x]$ — целая часть числа $x$, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее $x$.)
Ответ:
Решение:
Верхней целой частью числа $x$ называют наименьшее целое число, большее или равное $x$. Докажите, что существует такое вещественное число $A$, что для любого натурального $n$ расстояние от верхней целой части $A^n$ до ближайшего квадрата натурального числа всегда равно $2$.
Ответ:
Решение: