Поиск задач

Юра и Яша играют в следующую игру, делая ходы по очереди. Первым ходит Юра.
Изначально на доске написано число $n$. Игрок в свой ход может прибавить к числу на доске любой его натуральный делитель, стереть старое число и записать новое. (Например, если на доске написано число 12, то можно его стереть и написать одно из чисел 13, 14, 15, 16, 18, 24.)
Рассмотрим все возможные натуральные значения $n$ от 2 до 59 включительно.
1. Для скольких из них Юра имеет выигрышную стратегию, если проигрывает тот, кто получит после своего хода число, не меньшее 60?
2. Для скольких из них Юра имеет выигрышную стратегию, если побеждает тот, кто получит после своего хода число, не меньшее 60?

В корзине лежит 41 яблоко: 10 зелёных, 13 жёлтых и 18 красных. Алёна последовательно достаёт из корзины по одному яблоку. Если в какой-то момент она суммарно вытащит зелёных яблок меньше, чем жёлтых, а жёлтых — меньше, чем красных, то больше яблок из корзины она доставать не будет.
1. Какое наибольшее количество жёлтых яблок сможет достать Алёна из корзины?
2. Какое наибольшее количество яблок сможет достать Алёна из корзины?

Действительные числа $a$, $b$, $c$ таковы, что \[\begin{cases} a^2+ab+b^2=11,\\ b^2+bc+c^2=11. \end{cases}\]
1. Какое наименьшее значение может принимать выражение $c^2+ca+a^2$?
2. Какое наибольшее значение может принимать выражение $c^2+ca+a^2$?

Точка $M$ — середина основания $BC$ трапеции $ABCD$. На основании $AD$ выбрана точка $P$. Луч $PM$ пересекает луч $DC$ в точке $Q$. Перпендикуляр к основанию $AD$, проведённый через точку $P$, пересекает отрезок $BQ$ в точке $K$.
Известно, что $\angle KQD=64^\circ$ и $\angle KDQ=38^\circ$. Сколько градусов составляет угол $KBC$?

На горизонтальном полу лежат три волейбольных мяча радиусом 18, попарно касающиеся друг друга. Сверху положили теннисный мяч радиусом 6, касающийся всех трёх волейбольных мячей. Найдите расстояние от верхней точки теннисного мяча до пола. (Все мячи имеют форму шара.)

В зоопарк для кормления трёх обезьян привезли апельсины, бананы и кокосы, фруктов всех трёх видов было поровну. Первую обезьяну кормили только апельсинами и бананами, причём бананов было на 40% больше, чем апельсинов. Вторую кормили только бананами и кокосами, причём кокосов было на 25% больше, чем бананов. А третью кормили только кокосами и апельсинами, причём апельсинов было в 2 раза больше, чем кокосов. Обезьяны съели все привезённые фрукты.
Пусть первая обезьяна съела $a$ апельсинов, а третья обезьяна съела $b$ апельсинов. Найдите $a/b$.

Пусть $N$ — наименьшее общее кратное десяти различных натуральных чисел \[a_1\lt a_2\lt a_3\lt \ldots\lt a_{10}.\]
1. Какое наименьшее значение может принимать $N/a_3$?
2. Укажите все возможные значения $a_3$ на отрезке $[1;1000]$, для которых величина $N/a_1$ может принимать своё наименьшее значение.

Многочлен $G(x)$ с действительными коэффициентами принимает значение 2022 ровно в пяти различных точках $x_1\lt x_2\lt x_3\lt x_4\lt x_5$. Известно, что график функции $y=G(x)$ симметричен относительно прямой $x=-8$.
1. Найдите $x_1+x_3+x_5$.
2. Какую наименьшую степень может иметь $G(x)$?