Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 30
· весь вариант по порядку
На некоторой прямой произвольно отмечено $10$ точек, а на параллельной ей прямой — $12$ точек. Сколько существует треугольников и сколько четырёхугольников с вершинами в этих точках?
Ответ:
Решение:
Найдите количество прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат, таких, что точка $(14;22)$ содержится внутри (но не на границе) каждого из них, абсциссы вершин являются натуральными числами меньше $29$, а ординаты — натуральны и меньше, чем $31$.
Ответ:
Решение:
В Городском Собрании $24$ депутата. Любые двое из них либо дружат, либо враждуют, причём известно, что каждый дружит ровно с $7$ другими. Каждые три депутата образуют комиссию. Найдите общее число комиссий, в которых все три члена попарно дружат или все трое попарно враждуют.
Ответ:
Решение:
Найдите количество целочисленных решений системы неравенств \[ \begin{cases} (x-0{,}3)^2\leqslant 440,\\ \sin x\geqslant 0. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Известно, что параболы $y=x^2+bx+c$ и $y=-x^2+px+q$ пересекаются в точке $(1;1)$. Проекция вершины второй параболы на ось $x$ на $4$ правее, чем проекция вершины первой параболы на эту же ось. Одна из точек пересечения первой параболы с осью $x$ есть $(2;0)$. Найдите коэффициент $q$.
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее значение выражения \[ 3\sin^2\alpha+7\cos^2\alpha+8\sin^4\alpha+12\cos^4\alpha. \]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Целые числа $m$ и $n$ таковы, что $4m+5n=mn-9$. Найдите, какое наибольшее значение может принимать $m$.
Ответ:
Решение:
Два трёхзначных числа таковы, что сумма остальных трёхзначных чисел ровно в $770$ раз больше одного из них. Найдите наибольшее из этих чисел.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Найдите наибольшее натуральное $n$, для которого число $6500!$ делится на каждое из чисел $k^k$ при $k=1,2,3,\ldots,n$.
Ответ:
Решение:
Точка $O$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Известно, что $BC=16$, $CA=55$, $\angle AOB=120^\circ$. Найдите сторону $AB$.
Ответ:
Решение:
В параллелограмме $ABCD$ известно, что $AB=50$, $BC=21$ и $\cos\angle BAD=3/5$. Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников $BAD$ и $BCD$.
Ответ:
Решение:
Хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $X$. $M$ — точка пересечения биссектрисы угла $BXD$ с хордой $BD$. Найдите отрезок $BM$, если $BD=27$, а площади треугольников $CXB$ и $AXD$ относятся как $25:16$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите синус угла между плоскостью $AA_1C$ и прямой $A_1B$, если $AA_1=9$, $AB=12$ и $BC=16$.
Ответ:
Решение:
В основании пирамиды $SABC$ лежит треугольник $ABC$ со сторонами $AB=4$, $AC=13$, $BC=15$. Высота пирамиды имеет длину $6$, а основание высоты попадает на прямую $BC$. Найдите площадь плоского сечения, проходящего через точку $A$ параллельно прямой $BC$ и делящего высоту пирамиды в отношении $3:2$, считая от вершины $S$.
Ответ:
Решение:
Найдите положительное число $p$, такое, что прямая $y=4x+p$ и координатные оси образуют треугольник, площадь которого равна $72$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Сумма первых пяти членов арифметической прогрессии в $3$ раза меньше суммы последующих пяти её членов. Найдите третий член этой прогрессии, если седьмой член равен $52$.
Ответ:
Решение: