Олимпиада «Физтех»
11 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г.
30 задач
Задача 1
также:
Физтех, 9 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 1; Физтех, 10 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 1
Находясь в гостях у Кролика, Винни-Пух за первый час съел $40\%$ всего запаса мёда Кролика, а Пятачок и Кролик вместе за это же время съели лишь $300$ граммов мёда. За следующий час Винни-Пух съел $80\%$ оставшегося мёда, а Пятачок и Кролик съели $100$ граммов мёда на двоих. В итоге у Кролика осталось $800$ граммов мёда. Сколько килограммов мёда было у Кролика до визита Винни-Пуха?
Ответ:
Решение:
Задача 2
также:
Физтех, 9 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 7
Найдите значение выражения \[ \dfrac{1}{a^2-ac-ab+bc}+\dfrac{2}{b^2-ab-bc+ac}+\dfrac{1}{c^2-ac-bc+ab} \] при $a=1{,}67$, $b=1{,}71$ и $c=0{,}46$.
Ответ:
Решение:
Задача 3
также:
Физтех, 9 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 6
Ответ:
Решение:
Задача 4
также:
Физтех, 9 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 5
Задача 5
также:
Физтех, 9 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 3
Найдите положительное число $p$, такое, что прямая $y=4x+p$ и координатные оси образуют треугольник, площадь которого равна $72$.
Ответ:
Решение:
Задача 6
также:
Физтех, 9 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 8
В колбе было $230$ граммов $60\%$-го раствора кислоты. Лаборант отлил из колбы некоторое количество раствора и затем добавил в неё столько же воды, чтобы получить $48\%$-й раствор кислоты. Сколько граммов воды добавил лаборант?
Ответ:
Решение:
Задача 7
также:
Физтех, 9 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 9; Физтех, 10 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 2
Сумма первых пяти членов арифметической прогрессии в $3$ раза меньше суммы последующих пяти её членов. Найдите третий член этой прогрессии, если седьмой член равен $52$.
Ответ:
Решение:
Задача 8
также:
Физтех, 10 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 6
Две стороны треугольника равны $34$ и $32$, а медиана, проведённая к третьей стороне, равна $17$. Найдите площадь треугольника.
Ответ:
Решение:
Задача 9
От автостанции в одном направлении выезжают два велосипедиста с интервалом в $2$ ч, причём скорость первого равна $30$ км/ч, а скорость второго — $20$ км/ч. Через $2$ ч после выезда второго велосипедиста из того же города выезжает мотоциклист и догоняет второго велосипедиста, а ещё через $3$ ч догоняет первого. Какова скорость мотоциклиста (в км/ч)?
Ответ:
Решение:
Задача 10
также:
Физтех, 10 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 3
Найдите значение выражения \[ \dfrac{x^2-xy+4x-5y-5}{x^2-4y^2}\cdot\dfrac{x^3-2x^2y-5x^2+10xy+25x-50y}{x^3+125} \] при $x=5{,}4$ и $y=2{,}3$.
Ответ:
Решение:
Задача 11
Известно, что параболы $y=x^2+bx+c$ и $y=-x^2+px+q$ пересекаются в точке $(1;1)$. Проекция вершины второй параболы на ось $x$ на $4$ правее, чем проекция вершины первой параболы на эту же ось. Одна из точек пересечения первой параболы с осью $x$ есть $(2;0)$. Найдите коэффициент $q$.
Ответ:
Решение:
Задача 12
также:
Физтех, 9 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 13; Физтех, 10 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 7
При каком натуральном значении $n$ числа $n$, $n+15$, $46n-30$ являются последовательными членами геометрической прогрессии?
Ответ:
Решение:
Задача 13
также:
Физтех, 9 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 11
Ответ:
Решение:
Задача 14
также:
Физтех, 9 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 10
Точка $O$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Известно, что $BC=16$, $CA=55$, $\angle AOB=120^\circ$. Найдите сторону $AB$.
Ответ:
Решение:
Задача 15
также:
Физтех, 9 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 14; Физтех, 10 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 10
На некоторой прямой произвольно отмечено $10$ точек, а на параллельной ей прямой — $12$ точек. Сколько существует треугольников и сколько четырёхугольников с вершинами в этих точках?
Ответ:
Решение:
Задача 16
также:
Физтех, 10 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 11
Числа $a$, $b$ и $c$ таковы, что \[ a+b+c=13 \quad\text{и}\quad \dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}=0{,}4. \] Найдите значение выражения \[ \dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}. \]
Ответ:
Решение:
Задача 17
также:
Физтех, 10 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 12
Ответ:
Решение:
Задача 18
также:
Физтех, 9 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 15
Хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $X$. $M$ — точка пересечения биссектрисы угла $BXD$ с хордой $BD$. Найдите отрезок $BM$, если $BD=27$, а площади треугольников $CXB$ и $AXD$ относятся как $25:16$.
Ответ:
Решение:
Задача 19
также:
Физтех, 10 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 9
Сколько различных целых значений принимает функция $17\sin x+\operatorname{tg}x\cdot\operatorname{ctg}x$?
Ответ:
Решение:
Задача 20
также:
Физтех, 10 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 14
Отец и сын катаются на коньках по кругу с постоянными скоростями. Время от времени отец обгоняет сына. После того, как сын переменил направление своего движения на противоположное, они стали встречаться в $9$ раз чаще. Во сколько раз отец бегает быстрее сына?
Ответ:
Решение:
Задача 21
также:
Физтех, 9 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 16
Целые числа $m$ и $n$ таковы, что $4m+5n=mn-9$. Найдите, какое наибольшее значение может принимать $m$.
Ответ:
Решение:
Задача 22
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите синус угла между плоскостью $AA_1C$ и прямой $A_1B$, если $AA_1=9$, $AB=12$ и $BC=16$.
Ответ:
Решение:
Задача 23
также:
Физтех, 10 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 15
Найдите наименьшее значение выражения \[ 3\sin^2\alpha+7\cos^2\alpha+8\sin^4\alpha+12\cos^4\alpha. \]
Ответ:
Решение:
Задача 24
также:
Физтех, 9 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 17; Физтех, 10 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 16
Найдите количество прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат, таких, что точка $(14;22)$ содержится внутри (но не на границе) каждого из них, абсциссы вершин являются натуральными числами меньше $29$, а ординаты — натуральны и меньше, чем $31$.
Ответ:
Решение:
Задача 25
Два трёхзначных числа таковы, что сумма остальных трёхзначных чисел ровно в $770$ раз больше одного из них. Найдите наибольшее из этих чисел.
Ответ:
Решение:
Задача 26
также:
Физтех, 9 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 18
В параллелограмме $ABCD$ известно, что $AB=50$, $BC=21$ и $\cos\angle BAD=3/5$. Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников $BAD$ и $BCD$.
Ответ:
Решение:
Задача 27
Найдите количество целочисленных решений системы неравенств \[ \begin{cases} (x-0{,}3)^2\leqslant 440,\\ \sin x\geqslant 0. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Задача 28
также:
Физтех, 10 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 18
В основании пирамиды $SABC$ лежит треугольник $ABC$ со сторонами $AB=4$, $AC=13$, $BC=15$. Высота пирамиды имеет длину $6$, а основание высоты попадает на прямую $BC$. Найдите площадь плоского сечения, проходящего через точку $A$ параллельно прямой $BC$ и делящего высоту пирамиды в отношении $3:2$, считая от вершины $S$.
Ответ:
Решение:
Задача 29
также:
Физтех, 10 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 19
Найдите наибольшее натуральное $n$, для которого число $6500!$ делится на каждое из чисел $k^k$ при $k=1,2,3,\ldots,n$.
Ответ:
Решение:
Задача 30
В Городском Собрании $24$ депутата. Любые двое из них либо дружат, либо враждуют, причём известно, что каждый дружит ровно с $7$ другими. Каждые три депутата образуют комиссию. Найдите общее число комиссий, в которых все три члена попарно дружат или все трое попарно враждуют.
Ответ:
Решение: