Поиск задач

Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} 2^{x+2y}+2^x=3\cdot2^y,\\ 2^{2x+y}+2\cdot2^y=4\cdot2^x. \end{cases} \]

Найдите все решения неравенства: \[ \sin^{2018}x+\cos^{-2019}x\geqslant\cos^{2018}x+\sin^{-2019}x, \] принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{7\pi}{4}\right]$.

Сколько существует значений параметра $a$, при которых уравнение \[ 4a^2+3x\lg x+3\lg^2 x=13a\lg x+ax \] имеет единственное решение?

Про последовательность $\{a_n\}$ известно, что $a_1=1{,}5$ и $a_n=\dfrac{1}{n^2-1}$ при $n\in\mathbb N$, $n\gt 1$. Существуют ли такие значения $n$, что сумма первых $n$ членов этой последовательности отличается от $2{,}25$ меньше, чем на $0{,}01$? Если да, то найдите наименьшее из них.

На стороне $AC$ треугольника $ABC$ взяты точки $E$ и $K$, причём точка $E$ лежит между точками $A$ и $K$ и $AE:EK:KC=3:5:4$. Медиана $AD$ пересекает отрезки $BE$ и $BK$ в точках $L$ и $M$ соответственно. Найдите отношение площадей треугольников $BLM$ и $ABC$.

Найдите целую часть числа $a+\dfrac{9}{b}$, где $a$ и $b$ — соответственно целая и дробная часть числа $\sqrt{76-42\sqrt3}$.

Боковое ребро правильной пирамиды равно $2$. Может ли её объём быть равным $3{,}25$?

Из посёлка на станцию по одной дороге одновременно отправились дачник А пешком и мотоцикл с пассажиром — дачником Б. Не доехав до станции, мотоциклист высадил пассажира и сразу поехал обратно к посёлку, а дачник Б пошёл к станции пешком. Встретив дачника А, мотоциклист посадил его к себе и привёз на станцию. В результате оба дачника прибыли на станцию одновременно. Какую часть пути от посёлка до станции дачник А проехал на мотоцикле, если дачники шли с одинаковой скоростью, в $9$ раз меньшей скорости мотоцикла?