Поиск задач

Десятичная запись натурального числа $n$ состоит из $40\,000$ девяток. Сколько девяток содержит десятичная запись числа $n^3$?

Окружность $\omega$ с диаметром $AB$ пересекает сторону $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ в точке $D$. Точка $F$ выбрана на отрезке $AC$ так, что $DF\perp AC$, а $E$ — точка пересечения отрезка $DF$ с окружностью $\omega$, отличная от $D$. Найдите $AF$, если $AC=10$, $AB=6$, $BE=5$.

На координатной плоскости построена фигура $\Phi$, состоящая из всех точек, координаты которых удовлетворяют неравенству \[\left|x-\dfrac{15}{2}+\dfrac{y}{6\sqrt3}\right|+\left|x-\dfrac{15}{2}-\dfrac{y}{6\sqrt3}\right|\leqslant 3.\] Фигуру $\Phi$ непрерывно повернули вокруг начала координат на угол $\pi$ против часовой стрелки. Найдите площадь множества $M$, которое замела фигура $\Phi$ при этом повороте.

В телеигре ведущий берет несколько коробок и ровно в три из них кладет по одному шарику. Игрок может указать на пять коробок и открыть их. Если в этих коробках лежат все три шарика, то игрок выигрывает. Игроку разрешили открыть шесть коробок. Во сколько раз увеличилась вероятность выигрыша игрока?

Ненулевые числа $x$, $y$, $z$ удовлетворяют системе уравнений \[\begin{cases} xy=3z+z^2,\\ yz=3x+x^2,\\ zx=3y+y^2.\end{cases}\] Найдите все возможные значения выражения $(x+3)^2+(y+3)^2+(z+3)^2$, если известно, что система имеет хотя бы одно решение в ненулевых числах.

Найдите все значения параметра $a$, при которых

• корни уравнения \[x^2-(a^2-a)x+a-5=0\] являются пятым и шестым членами некоторой непостоянной арифметической прогрессии,
• а корни уравнения \[4x^2-(a^3-a^2)x+2a^4+2a^2-a^6-4=0\] являются третьим и восьмым членами этой прогрессии.

На гипотенузе $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$ выбраны точки $P$ и $Q$ так, что $AB=BP$, $AC=CQ$. Внутри треугольника $ABC$ выбрана точка $D$, для которой $DP=DQ$, а $\angle PDQ=90^\circ$. Найдите $\angle DBC$, если известно, что $\angle DCB=20^\circ$.