Поиск задач

В классе для занятий иностранным языком стоят четыре ряда парт, в каждом из которых по три парты, расположенных друг за другом. Парта рассчитана на одного человека. Школьник хорошо видит доску в любом из следующих случаев (и только в них):

• он сидит на первой парте в ряду,
• ближайшая парта перед ним пуста,
• за ближайшей партой перед ним сидит ученик меньшего роста.

Сколькими способами можно рассадить в классе $11$ учеников группы так, чтобы всем было хорошо видно доску, если известно, что все школьники разного роста? Ответ дайте в виде числа или выражения, содержащего не более двух слагаемых (в слагаемые могут входить факториалы, биномиальные коэффициенты).

На острове расположено несколько деревень. Между некоторыми деревнями проложены дороги. Известно, что из любой деревни в любую другую можно добраться, причём по единственному маршруту. Также известно, что есть четыре деревни, из которых выходят $5$, $6$, $7$ и $9$ дорог соответственно, а из остальных деревень выходит ровно по одной дороге. Сколько деревень может быть на острове?

Найдите все пары целых чисел $(x;y)$, удовлетворяющие уравнению \[ \sqrt{2x-2y-x^2-y^2}+\sqrt{1-|x-y-1|}=2. \]

Натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что $a-b=12$, а значение выражения $a^2+2ab+b^2+3a+3b$ равно $19p^4$, где $p$ — некоторое простое число. Найдите числа $a$ и $b$.

На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $M$ и $N$ так, что $BM=MN=NC$. Прямая, параллельная $AN$ и проходящая через точку $M$, пересекает продолжение стороны $AC$ за точку $A$ в такой точке $D$, что $AB=CD$. Найдите $AB$, если $BC=6$, $\cos(2\angle CDM)=-\dfrac{3}{4}$.

Найдите все значения параметра $t$, при каждом из которых уравнение $x^2+4\sqrt{2}tx+9t^2-9=0$ имеет два различных действительных корня, а их произведение положительно.

Продолжение сторон $BC$ (за точку $C$) и $AD$ (за точку $D$) вписанного в окружность четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $E$. Центр $O$ окружности, вписанной в треугольник $ABE$, лежит на отрезке $CD$. Найдите наибольшее возможное значение суммы $ED+DO$, если известно, что $BE=12$.