Поиск задач

На собрание пришло $n$ человек ($n\gt 1$). Оказалось, что у любых двух из них есть среди собравшихся ровно два других общих знакомых.
а) Докажите, что каждый из них знаком с одинаковым числом людей на этом собрании.
б) Покажите, что $n$ может быть больше $4$.

Для $n=1,2,3$ будем называть числом $n$-го типа любое число, которое либо равно $0$, либо входит в бесконечную геометрическую прогрессию $1,(n+2),(n+2)^2,\ldots$, либо является суммой нескольких различных её членов. Докажите, что любое натуральное число можно представить в виде суммы числа первого типа, числа второго типа и числа третьего типа.

В треугольнике $ABC$ высоты или их продолжения пересекаются в точке $H$, а $R$ — радиус описанной около него окружности. Докажите, что если $\angle A\leqslant\angle B\leqslant\angle C$, то $AH+BH\geqslant 2R$.

Алёша написал на доске $5$ целых чисел — коэффициенты и корни квадратного трёхчлена. Боря стёр одно из них. Остались числа $2$, $3$, $4$, $-5$ в каком-то порядке. Восстановите стёртое число и докажите, что было написано именно оно.

Про бесконечный набор прямоугольников известно, что в нём для любого числа $S$ найдутся прямоугольники суммарной площади больше $S$.
а) Обязательно ли этим набором можно покрыть всю плоскость, если при этом допускаются наложения?
б) Тот же вопрос, если дополнительно известно, что все прямоугольники в наборе являются квадратами.

Для заданных значений $a$, $b$, $c$ и $d$ оказалось, что графики функций \[y=2a+\frac{1}{x-b}\quad\text{и}\quad y=2c+\frac{1}{x-d}\] имеют ровно одну общую точку. Докажите, что графики функций \[y=2b+\frac{1}{x-a}\quad\text{и}\quad y=2d+\frac{1}{x-c}\] также имеют ровно одну общую точку.