Олимпиада «Физтех»
10 класс, отборочный этап 2013/14 уч. г.
20 задач
Задача 1
также:
Физтех, 9 класс, отборочный этап 2013/14 уч. г., задача 5
Сколько одинаковых членов находится среди первых $2000$ членов арифметических прогрессий $9, 11, 13, \ldots$ и $3, 8, 13, \ldots$?
Ответ:
Решение:
Задача 2
На столе рубашкой вверх была разложена колода из $36$ игральных карт. Лёша перевернул $30$ карт, затем Макс перевернул $19$ карт, а после этого Боря — $21$ карту. В результате вся колода оказалась рубашкой вниз. Сколько карт было перевёрнуто трижды?
Ответ:
Решение:
Задача 3
также:
Физтех, 11 класс, отборочный этап 2013/14 уч. г., задача 2
Последовательность $a_n$ такова, что $a_1=4$, $a_2=25$. Найдите $a_{200}$, если для любого натурального $n$ справедливо равенство $a_{n+1}=a_n\cdot a_{n+2}$.
Ответ:
Решение:
Задача 4
Ответ:
Решение:
Задача 5
Известно, что $\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta=8$, а $\operatorname{ctg}\alpha+\operatorname{ctg}\beta=40$. Найдите $\operatorname{tg}(\alpha+\beta)$.
Ответ:
Решение:
Задача 6
При каком значении параметра $a$ значение выражения $x_1^2+x_2^2$ будет наименьшим, если $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2+ax+a-2=0$?
Ответ:
Решение:
Задача 7
также:
Физтех, 9 класс, отборочный этап 2013/14 уч. г., задача 10
Какая наибольшая площадь может быть у треугольника, если длины двух его медиан равны $12$ и $17$, а угол между ними равен $150^\circ$?
Ответ:
Решение:
Задача 8
также:
Физтех, 11 класс, отборочный этап 2013/14 уч. г., задача 5
Натуральное число имеет ровно два простых делителя. Его квадрат имеет $85$ различных натуральных делителей. Какое наибольшее количество различных натуральных делителей может иметь куб этого числа?
Ответ:
Решение:
Задача 9
также:
Физтех, 9 класс, отборочный этап 2013/14 уч. г., задача 12
Длины сторон треугольника $ABC$ равны $13$, $22$ и $27$. $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ — его медианы, а $AA_2$, $BB_2$ и $CC_2$ — его высоты. Найдите длину замкнутой ломаной $A_1B_2C_1A_2B_1C_2A_1$.
Ответ:
Решение:
Задача 10
Какое наибольшее значение может быть у наибольшего общего делителя чисел $13n+6$ и $17n+1$, если $n$ — натуральное число?
Ответ:
Решение:
Задача 11
также:
Физтех, 9 класс, отборочный этап 2013/14 уч. г., задача 14
Трапеция $ABCD$ с основаниями $BC=6$ и $AD=7$ вписана в окружность. Продолжение средней линии $MN$ трапеции за точку $M$ пересекает окружность в точке $K$. Найдите квадрат высоты трапеции, если $MK=1$.
Ответ:
Решение:
Задача 12
Задача 13
также:
Физтех, 9 класс, отборочный этап 2013/14 уч. г., задача 15
Дан выпуклый $15$-угольник, никакие три диагонали которого не имеют общих точек, отличных от вершин. Найдите число точек пересечения диагоналей (не считая вершин).
Ответ:
Решение:
Задача 14
также:
Физтех, 9 класс, отборочный этап 2013/14 уч. г., задача 18
Какое наибольшее значение может принимать знаменатель геометрической прогрессии $b_1, b_2, \ldots$, если число $5$ является корнем уравнения $b_{10}x^9+\ldots+b_3x^2+b_2x+b_1=0$?
Ответ:
Решение:
Задача 15
также:
Физтех, 11 класс, отборочный этап 2013/14 уч. г., задача 10
В равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB=BC$) вписана окружность. Через точку $D$, лежащую на стороне $AB$, проведена касательная к окружности, пересекающая прямую $AC$ за точкой $C$ в точке $E$. Найдите длину боковой стороны треугольника $ABC$, если $AC=21$, $CE=35$ и $BD=AB/8$.
Ответ:
Решение:
Задача 16
На сторонах $AB$ и $AD$ квадрата $ABCD$ со стороной $12$ отмечены точки $E$ и $F$ соответственно. Угол $ECF$ равен $60^\circ$. Из вершин $B$ и $D$ проведены перпендикуляры к отрезкам $CE$ и $CF$. Какая наибольшая площадь может быть у четырёхугольника с вершинами в основаниях этих перпендикуляров?
Ответ:
Решение:
Задача 17
также:
Физтех, 11 класс, отборочный этап 2013/14 уч. г., задача 14
На клетчатой бумаге по линиям сетки выделили прямоугольник $10\times15$ клеток. В нём отметили все узлы, в том числе и лежащие на его границе. Какое наибольшее число отмеченных узлов можно выбрать так, чтобы никакие три из них не являлись вершинами прямоугольного треугольника?
Ответ:
Решение:
Задача 18
также:
Физтех, 9 класс, отборочный этап 2013/14 уч. г., задача 19; Физтех, 11 класс, отборочный этап 2013/14 уч. г., задача 15
Из начала координат проведено $240$ лучей, которые делят координатную плоскость на углы в $1{,}5^\circ$. Известно, что четыре из них совпадают с координатными полуосями. Найдите сумму абсцисс точек пересечения этих лучей с прямой $y=30-x$.
Ответ:
Решение:
Задача 19
На плоскости нарисован круг и три семейства прямых: в одном $18$ параллельных между собой прямых, в другом $27$ параллельных между собой прямых, в третьем — $32$ параллельных между собой прямых. На какое наибольшее число частей прямые могут разбить круг?
Ответ:
Решение:
Задача 20
В турнире участвовали $377$ теннисистов. Все игры проходили на одном корте. Спортсмен, проигравший хотя бы одну игру, выбывает из турнира. Известно, что у участников каждой встречи количество предыдущих побед отличалось не более чем на одну. Какое наибольшее число игр мог сыграть победитель турнира?
Ответ:
Решение: