Олимпиада «Физтех»

Сколькими способами из натуральных чисел от $1$ до $100$ можно выбрать три числа так, чтобы одно из них равнялось среднему арифметическому двух оставшихся?

Олег должен написать в тетради $373$ подряд идущих натуральных числа таких, что их среднее арифметическое — простое число. Какое наименьшее число он мог написать в тетради?

На доске написано число $23\,456\,789$. Петя заменил в нём $5$ цифр: $4$ последние цифры и ещё какую-то. В итоге получилось восьмизначное число, делящееся на $48$, притом минимально возможное. Что это за число?

Найдите максимальное значение отношения $\dfrac{x}{y}$, если $90-12y+y^2-16x+x^2=0$.

Окружность с центром $I$ вписана в треугольник $ABC$ и касается его стороны $BC$ в точке $D$. Пусть $E$ — середина $BC$, а точка $F$ взята на стороне $AC$ так, что $BF\perp AI$. Найдите длину отрезка $CF$, если $AB=20$, $BC=16$, $DE=2$.

Антон выписал на доску числа $A_1, A_2, A_3, \ldots, A_{2025}$ такие, что не все они равны между собой. Внимательно изучив числа на доске, Константин заметил следующую закономерность: для любого натурального значения $k\in[2;2024]$ число $A_{k+1}-A_k$ вдвое меньше, чем $A_{k+1}-A_{k-1}$. Каково наименьшее возможное значение отношения \[ \dfrac{A_{100}-A_{98}}{A_{2023}-A_{2013}}? \]

Какое наименьшее значение может принимать сумма $20$ различных натуральных чисел таких, что

• ни одно из которых не делится ни на $2$, ни на $3$, ни на $5$, ни на $7$,
• сумма любых двух чисел делится на $2$,
• сумма любых трёх чисел делится на $3$,
• сумма любых пяти чисел делится на $5$,
• сумма любых семи чисел делится на $7$?

Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ имеют радиусы $5$ и $8$, а расстояние между их центрами больше $13$. Оказалось, что их общие внутренние касательные перпендикулярны. Найдите площадь треугольника, ограниченного одной общей внешней и двумя общими внутренними касательными к этим окружностям.

В лесничестве организовали три пункта $A$, $B$, $C$ подкорма птиц на время зимних холодов. В силу особенностей их расположения в пункт $A$ прилетает больше всего птиц, а в пункт $C$ — меньше всего. Ежедневно на эти три пункта в сумме выделяется $S$ килограммов корма, который распределяется пропорционально количеству птиц, прилетевших в данный пункт накануне. Известно, что:

• 1 января количества птиц, прилетевших в три пункта, составили геометрическую прогрессию;
• 2 января в каждый из пунктов прилетело на $130$ птиц больше, чем 1 января;
• 2 января в пункт $C$ прилетело ровно в $3$ раза меньше птиц, чем в пункт $A$;
• 3 января в пункт $A$ выделили на $2{,}34$ кг меньше корма, чем 2 января;
• 3 января в пункт $C$ выделили на $1{,}56$ кг больше корма, чем 2 января.

Найдите $S$. Ответ укажите в килограммах.

Фокусник попросил $60$ зрителей загадать различные числа, каждого — одно число. За один вопрос фокусник может выбрать любых трёх зрителей и спросить, какие числа они загадали. В ответ ему скажут множество из трёх чисел. За какое наименьшее количество вопросов фокусник может указать, какие числа загадал каждый из зрителей?