Олимпиада «Физтех»

Решите неравенство \[ \log_{\frac12}\left(\dfrac{x-5}{x+3}\right)-\log_{\frac12}\left(\dfrac{x^2}{2}+4x+9\right)\leqslant 2\log_4(x^2+5x+6). \]

Решите систему уравнений \[ \begin{cases} \dfrac{5x}{y}-\dfrac{9y}{x}+10=\dfrac{6}{xy},\\[2mm] \dfrac{2x}{y}+\dfrac{3y}{x}+4=\dfrac{9}{xy}. \end{cases} \]

Рассматриваются всевозможные правильные четырёхугольные пирамиды, у которых медианы боковых граней, проведённые из вершины пирамиды, равны $a$.
а) Найдите наибольший возможный объём рассматриваемых пирамид.
б) Для пирамиды наибольшего объёма найдите угол между соседними боковыми гранями.

Найдите наименьший корень уравнения \[ \operatorname{ctg}6x-\operatorname{tg}5x=\dfrac{1}{\cos 5x}, \] принадлежащий отрезку $\left[\dfrac{8\pi}{17};\dfrac{40\pi}{17}\right]$.

В трапеции $ABCD$ основание $BC$ равно $5$, боковая сторона $AB$ равна $10$. Биссектриса угла $BAD$ пересекает сторону $CD$ в точке $E$, а прямую $BC$ — в точке $F$, причём $AE\perp CD$, $EF=4$. Найдите длины отрезков $AE$ и $AD$, а также площадь трапеции.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений \[ \begin{cases} x^2+(2a-2)x+a^2-2a-3=0,\\ \sqrt{x^2+(y-a)^2}+\sqrt{(x+4)^2+(y-a)^2}=4 \end{cases} \] имеет ровно одно решение.

Последнюю цифру шестизначного числа переставили в начало (например, $456789\to 945678$), и полученное шестизначное число прибавили к исходному числу. Какие числа из промежутка $[891870;891899]$ могли получиться в результате сложения?

На клетчатой доске размера $22\times 25$ (длина стороны клетки равна $1$) требуется отметить тройку клеток так, чтобы центры этих клеток образовывали прямоугольный треугольник с катетами длины $7$ и $4$ (катеты параллельны краям доски). Сколькими способами это можно сделать?