Олимпиада «Физтех»

Решите уравнение \[ \cos^2 2x+\cos^2 4x=1+\operatorname{ctg}6x. \]

Решите неравенство \[ \dfrac{x\sqrt{2}+1}{1-\sqrt{x^2-4x+5}}\leqslant 1. \]

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система неравенств \[ \begin{cases} x^2+y^2-a^2\leqslant 6x-4y-13,\\ x^2+y^2-4a^2\leqslant 8y-10x+4a-40 \end{cases} \] имеет ровно одно решение.

Две окружности разных радиусов касаются внешним образом. К ним проведены две общие внешние касательные $AC$ и $BD$. Их точки касания с меньшей окружностью — $A$ и $B$, с большей окружностью — $C$ и $D$. Найдите радиусы окружностей, если известно, что $AB=24/5$, $AC=12$.

Последнюю цифру шестизначного числа переставили в начало (например, $123456\to 612345$), и полученное шестизначное число вычли из исходного числа. Какие числа из промежутка $[618222;618252]$ могли получиться в результате вычитания?

На ребре $CC_1$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ выбрана точка $M$ так, что центр сферы, описанной около пирамиды $MAA_1B_1B$, лежит в грани $AA_1B_1B$. Известно, что радиус сферы, описанной около пирамиды $MABC$, равен $5$, а ребро основания призмы равно $4\sqrt{3}$. Найдите:
а) отношение объёма пирамиды $MAA_1B_1B$ к объёму призмы;
б) длину отрезка $MC$;
в) площадь полной поверхности призмы.

Решите систему уравнений \[ \begin{cases} 4y^2-15xy+14x^2+12y-24x=0,\\ \sqrt{x(12-7x+4y)+36}+\sqrt{x^2+8x+32}=6. \end{cases} \]

Найдите количество пар целых чисел $(a,b)$ таких, что $1\leqslant a\leqslant 700$, $1\leqslant b\leqslant 700$, сумма $a+b$ делится на $7$, а произведение $ab$ делится на $5$. (При $a\neq b$ пары $(a,b)$ и $(b,a)$ считаются различными.)