Олимпиада «Физтех»
9 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г.
20 задач
Задача 1
Во время загородной поездки автомобиль на каждые сто километров пути расходует на пять литров бензина меньше, чем в городе. Водитель выехал с заправки с полным баком, проехал $180$ км по городу и $130$ км по загородному шоссе до заправки. Заправив автомобиль, он обнаружил, что в бак вошло $43{,}1$ литра бензина. Найдите расход бензина (в литрах) на сто километров пути при поездке по городу.
Ответ:
Решение:
Задача 3
также:
Физтех, 10 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 1; Физтех, 11 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 2
Вписанная в прямоугольный треугольник окружность делит точкой касания один из катетов на отрезки длины $6$ и $7$. Найдите длину гипотенузы.
Ответ:
Решение:
Задача 4
также:
Физтех, 10 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 3; Физтех, 11 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 3
Строки клетчатой доски $1001\times2012$ пронумерованы от $1$ до $1001$ снизу вверх, а столбцы пронумерованы от $1$ до $2012$ слева направо. Змейка начинает ползти из левой нижней клетки доски направо. Змейка не может выходить за пределы доски и посещать одну клетку более одного раза. Если змейка не может продолжить движение, она поворачивает налево и далее следует по прямой. Таким образом, змейка пройдёт доску по спирали, побывав в каждой клетке ровно по одному разу. Найдите сумму номеров строки и столбца клетки, в которой змейка закончит движение.
Ответ:
Решение:
Задача 5
также:
Физтех, 10 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 4; Физтех, 11 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 5
Найдите наименьшее значение параметра $a$, при котором уравнения \[ 5x^2-11x+2=0 \quad\text{и}\quad 2x^2-(a+2)x+a=0 \] имеют общий корень.
Ответ:
Решение:
Задача 6
также:
Физтех, 10 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 5
В некотором классе каждый ученик либо всегда говорит ложь, либо всегда говорит правду. При этом каждый из них знает про остальных, кто лжец, а кто — нет. На сегодняшнем собрании присутствовали все ученики класса, и каждый сообщил, кем является каждый из остальных. Ответ «лжец» при этом прозвучал $272$ раза. Вчера проводилось такое же собрание, но один из учеников отсутствовал. Тогда ответ «лжец» прозвучал $256$ раз. Сколько учеников в таком классе?
Ответ:
Решение:
Задача 7
также:
Физтех, 10 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 6
Четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм, $\angle BAD=60^\circ$, биссектрисы углов $A$ и $D$ пересекаются на стороне $BC$. Найдите $AB$, если $AD=10$.
Ответ:
Решение:
Задача 8
также:
Физтех, 10 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 7; Физтех, 11 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 7
Маша и Саша делят между собой ягоды, собранные ими в лесу. Вначале Маша берёт $15$ ягод, далее дети берут ягоды по очереди, причём каждый берёт ровно на одну ягоду больше, чем предыдущий. Если количество ягод, которое ребёнок должен взять, превышает количество ягод в куче, он берёт все оставшиеся ягоды. В конце дележа у Маши оказалось $1012$ ягод. Сколько ягод было в куче?
Ответ:
Решение:
Задача 9
также:
Физтех, 10 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 8; Физтех, 11 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 9
«Жигули» и «Москвич» одновременно выехали из посёлка А в город Б. Через $15$ минут «Жигулям» оставалось доехать до города Б $40$ км, а «Москвичу» — $50$ км. Через сколько минут после «Жигулей» приехал в город Б «Москвич», если скорость «Москвича» составляет $60\%$ от скорости «Жигулей»?
Ответ:
Решение:
Задача 10
также:
Физтех, 10 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 10; Физтех, 11 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 10
Какое количество натуральных чисел $a$ обладает следующим свойством: «Наименьшее общее кратное чисел $16$, $50$ и $a$ равняется $1200$»?
Ответ:
Решение:
Задача 11
также:
Физтех, 10 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 11; Физтех, 11 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 11
Пропускная способность большой трубы на $9$ м$^3$/ч больше, чем маленькой трубы. Известно, что $16$ маленьких труб могут наполнить бассейн на пять часов быстрее, чем одна большая труба. Найдите, какой наименьший объём (в кубических метрах) может быть у бассейна.
Ответ:
Решение:
Задача 12
также:
Физтех, 10 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 12; Физтех, 11 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 12
Найдите число $\overline{ab}$, если известно, что число \[ \underbrace{2011\ldots2011}_{101\text{ раз}}a2011b\underbrace{2011\ldots2011}_{101\text{ раз}} \] делится на $99$.
Ответ:
Решение:
Задача 13
также:
Физтех, 10 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 14; Физтех, 11 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 14
В выходные дни в метро пассажиропоток уменьшается на $70\%$, а интервал между поездами увеличивается на $60\%$. На сколько процентов среднее количество человек в вагоне метро в выходные дни меньше, чем в рабочие дни?
Ответ:
Решение:
Задача 14
также:
Физтех, 10 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 15; Физтех, 11 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 15
Семь натуральных чисел выписаны в ряд. Каждое число, начиная с третьего, равняется сумме двух предыдущих чисел. Какое максимально возможное значение может принимать первое число, если последнее равняется $2012$?
Ответ:
Решение:
Задача 15
также:
Физтех, 10 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 17
Ответ:
Решение:
Задача 16
также:
Физтех, 10 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 18; Физтех, 11 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 17
Ответ:
Решение:
Задача 17
также:
Физтех, 10 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 20; Физтех, 11 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 19
Каждая сторона равностороннего треугольника разбита на $21$ равных частей. Через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам. В результате треугольник разбит на $441$ треугольничков. Назовём цепочкой последовательность треугольничков, в которой ни один треугольничек не появляется дважды и каждый последующий имеет общую сторону с предыдущим. Каково наибольшее возможное количество треугольничков в такой цепочке?
Ответ:
Решение:
Задача 18
также:
Физтех, 10 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 21; Физтех, 11 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 20
Прямоугольник, составленный из одинаковых квадратных клеток, назовём чётным, если он содержит чётное число клеток.
Из одинаковых квадратных клеток составлен прямоугольник длиной $9$ клеток и шириной $4$ клетки. Сколько в нём содержится чётных прямоугольников?
Из одинаковых квадратных клеток составлен прямоугольник длиной $9$ клеток и шириной $4$ клетки. Сколько в нём содержится чётных прямоугольников?
Ответ:
Решение:
Задача 19
также:
Физтех, 10 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 22; Физтех, 11 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 21
Натуральные числа $a$, $b$ и $c$ таковы, что \[ \begin{cases} ab+bc+ca+1{,}5(a+b+c)=7039,\\ 2abc-a-b-c=2008. \end{cases} \] Найдите наименьшее значение $a+b+c$.
Ответ:
Решение:
Задача 20
также:
Физтех, 10 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 25; Физтех, 11 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 24
Сколькими способами можно выложить в ряд три красных, четыре синих и пять зелёных шаров так, чтобы никакие два синих шара не лежали рядом?
Ответ:
Решение: