Олимпиада «Физтех»
10 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г.
20 задач
Задача 1
также:
Физтех, 9 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 1; Физтех, 11 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 1
Находясь в гостях у Кролика, Винни-Пух за первый час съел $40\%$ всего запаса мёда Кролика, а Пятачок и Кролик вместе за это же время съели лишь $300$ граммов мёда. За следующий час Винни-Пух съел $80\%$ оставшегося мёда, а Пятачок и Кролик съели $100$ граммов мёда на двоих. В итоге у Кролика осталось $800$ граммов мёда. Сколько килограммов мёда было у Кролика до визита Винни-Пуха?
Ответ:
Решение:
Задача 2
также:
Физтех, 9 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 9; Физтех, 11 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 7
Сумма первых пяти членов арифметической прогрессии в $3$ раза меньше суммы последующих пяти её членов. Найдите третий член этой прогрессии, если седьмой член равен $52$.
Ответ:
Решение:
Задача 3
также:
Физтех, 11 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 10
Найдите значение выражения \[ \dfrac{x^2-xy+4x-5y-5}{x^2-4y^2}\cdot\dfrac{x^3-2x^2y-5x^2+10xy+25x-50y}{x^3+125} \] при $x=5{,}4$ и $y=2{,}3$.
Ответ:
Решение:
Задача 4
Известно, что параболы $y=x^2+bx+c$ и $y=-x^2+px+q$ пересекаются в точке $(1;1)$. Проекция вершины второй параболы на ось $x$ на $4$ правее, чем проекция вершины первой параболы на эту же ось. Одна из точек пересечения первой параболы с осью $x$ есть $(2;0)$. Найдите $q$.
Ответ:
Решение:
Задача 5
На доске выписали в порядке возрастания все натуральные числа от $1$ до $10000$, а потом стёрли те, которые не делятся ни на $4$, ни на $15$. Какое число оказалось на $2017$-м месте?
Ответ:
Решение:
Задача 6
также:
Физтех, 11 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 8
Две стороны треугольника равны $34$ и $32$, а медиана, проведённая к третьей стороне, равна $17$. Найдите площадь треугольника.
Ответ:
Решение:
Задача 7
также:
Физтех, 9 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 13; Физтех, 11 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 12
При каком натуральном значении $n$ числа $n$, $n+15$, $46n-30$ являются последовательными членами геометрической прогрессии?
Ответ:
Решение:
Задача 8
также:
Физтех, 9 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 12
Два велосипедиста выезжают навстречу друг другу из двух городов, расстояние между которыми $240$ километров. Если первый выедет на $4{,}5$ часа раньше второго, то он встретит второго велосипедиста через $7{,}5$ часа после своего выезда. Если второй выедет на $1$ час раньше первого, то он встретит первого велосипедиста через $6$ часов после своего выезда. С какой скоростью (в км/ч) едет каждый велосипедист?
Ответ:
Решение:
Задача 9
также:
Физтех, 11 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 19
Сколько различных целых значений принимает функция $17\sin x+\operatorname{tg}x\cdot\operatorname{ctg}x$?
Ответ:
Решение:
Задача 10
также:
Физтех, 9 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 14; Физтех, 11 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 15
На некоторой прямой произвольно отмечено $10$ точек, а на параллельной ей прямой — $12$ точек. Сколько существует треугольников и сколько четырёхугольников с вершинами в этих точках?
Ответ:
Решение:
Задача 11
также:
Физтех, 11 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 16
Числа $a$, $b$ и $c$ таковы, что \[ a+b+c=13 \quad\text{и}\quad \dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}=0{,}4. \] Найдите значение выражения \[ \dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}. \]
Ответ:
Решение:
Задача 12
также:
Физтех, 11 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 17
Ответ:
Решение:
Задача 13
На сторонах $AB$, $BC$ и $CA$ треугольника $ABC$ отмечены соответственно точки $D$, $E$ и $F$ так, что прямая $DF$ параллельна стороне $BC$. Найдите площадь четырёхугольника $ADEF$, если площади треугольников $ABC$ и $ADF$ равны $150$ и $6$ соответственно.
Ответ:
Решение:
Задача 14
также:
Физтех, 11 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 20
Отец и сын катаются на коньках по кругу с постоянными скоростями. Время от времени отец обгоняет сына. После того, как сын переменил направление своего движения на противоположное, они стали встречаться в $9$ раз чаще. Во сколько раз отец бегает быстрее сына?
Ответ:
Решение:
Задача 15
также:
Физтех, 11 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 23
Найдите наименьшее значение выражения \[ 3\sin^2\alpha+7\cos^2\alpha+8\sin^4\alpha+12\cos^4\alpha. \]
Ответ:
Решение:
Задача 16
также:
Физтех, 9 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 17; Физтех, 11 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 24
Найдите количество прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат, таких, что точка $(14;22)$ содержится внутри (но не на границе) каждого из них, абсциссы вершин являются натуральными числами меньше $29$, а ординаты — натуральны и меньше, чем $31$.
Ответ:
Решение:
Задача 17
Найдите натуральное число, которое ровно в $25$ раз меньше, чем сумма всех натуральных чисел, меньших его и делящихся на $31$.
Ответ:
Решение:
Задача 18
также:
Физтех, 11 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 28
В основании пирамиды $SABC$ лежит треугольник $ABC$ со сторонами $AB=4$, $AC=13$, $BC=15$. Высота пирамиды имеет длину $6$, а основание высоты попадает на прямую $BC$. Найдите площадь плоского сечения, проходящего через точку $A$ параллельно прямой $BC$ и делящего высоту пирамиды в отношении $3:2$, считая от вершины $S$.
Ответ:
Решение:
Задача 19
также:
Физтех, 11 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 29
Найдите наибольшее натуральное $n$, для которого число $6500!$ делится на каждое из чисел $k^k$ при $k=1,2,3,\ldots,n$.
Ответ:
Решение:
Задача 20
$26$ солдат выстроены в одну шеренгу. Сколько существует различных способов выбрать $11$ из них так, что никакие двое из них не стоят рядом?
Ответ:
Решение: