МФТИ, письменный вступительный экзамен по математике

Окружность с центром на диагонали $AC$ трапеции $ABCD$ ($BC\parallel AD$) проходит через вершины $A$ и $B$, касается стороны $CD$ в точке $C$ и пересекает основание $AD$ в точке $E$. Найти площадь трапеции $ABCD$, если $CD=6\sqrt{13}$, $AE=8$.

Решить уравнение \[\sin x+|\cos x|+\sin 4x=\cos 2x.\]

Решить неравенство \[\sqrt{3\lg^2 x^2+\lg^2(x+2)}\gt \lg x^2+\lg(x+2).\]

Дана система неравенств \[\begin{cases}x^2+y^2\leqslant 4|x|,\\ |x|+|y|\geqslant 2,\\ x^2-y^2+16-8x\geqslant 0.\end{cases}\] Найти площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют:\ а) первому неравенству системы;\ б) первым двум неравенствам системы;\ в) всем трем неравенствам системы.

Найти все действительные решения системы уравнений \[\begin{cases}2+6y=\dfrac{x}{y}-\sqrt{x-2y},\\ \sqrt{x+\sqrt{x-2y}}=x+3y-2.\end{cases}\]

Даны пирамида $ABCD$ и цилиндр. Окружность нижнего основания цилиндра вписана в грань $ABC$. Окружность верхнего основания цилиндра пересекает ребра $DA$, $DB$ и $DC$, а ее центр лежит на грани $ABD$. Радиус цилиндра равен 3, объем пирамиды $ABCD$ равен $27\sqrt{2}$, ребро $AB=24$. Найти двугранный угол между гранями $ABC$ и $ABD$ и радиус описанной около $ABCD$ сферы.