МФТИ, письменный вступительный экзамен по математике

Решить уравнение \[\dfrac{\cos 3x}{\cos x}\left(1-\sin^2 x\cos 2x-2\sin^2 x\right)=1.\]

Решить неравенство \[\dfrac{1}{\sqrt{x^2-4x-5}-4}\lt \dfrac{1}{2|x+2|-5}.\]

Решить систему уравнений \[\begin{cases}\dfrac{\log_5(5x-3y-1)}{\log_5(2y-x+3)}=\dfrac{\log_2(5+4y-3x)-1}{\log_2(3x-y+1)},\\ 2x^2+y^2=3xy+x+1.\end{cases}\]

В трапеции $ABCD$ с меньшим основанием $BC$ и площадью, равной 2, прямые $BC$ и $AD$ касаются окружности диаметром $\sqrt{2}$ в точках $B$ и $D$ соответственно. Боковые стороны трапеции $AB$ и $CD$ пересекают окружность в точках $M$ и $N$ соответственно. Длина $MN$ равна 1. Найти величину угла $MBN$ и длину основания $AD$.

Найти все значения $a$, при которых система уравнений \[\begin{cases}|x|+2|y|+|2y-3x|=12,\\ x^2+y^2=a\end{cases}\] имеет ровно два действительных решения.

Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 1. Найти радиус сферы, касающейся:\ а) ребер $BA$, $BB_1$, $BC$ и плоскости $A_1DC_1$;\ б) ребер $BA$, $BB_1$, $BC$ и прямой $DA_1$.