Объединённая межвузовская математическая олимпиада (ОММО)

Докажите, что для каждого натурального числа $n$ число $5^{2n}+3^{n+2}+3^n$ делится на $11$.

Группа авантюристов показывает свою добычу. Известно, что ровно у $13$ авантюристов есть рубины; ровно у $9$ — изумруды; ровно у $15$ — сапфиры; ровно у $6$ — бриллианты. Кроме того, известно, что

• если у авантюриста есть сапфиры, то у него есть или изумруды, или бриллианты (но не то и другое одновременно);
• если у авантюриста есть изумруды, то у него есть или рубины, или сапфиры (но не то и другое одновременно).

Какое наименьшее количество авантюристов может быть в такой группе?

Бригада рабочих трудилась на заливке катка на большом и малом полях, причём площадь большого поля в $2$ раза больше площади малого поля. В той части бригады, которая работала на большом поле, было на $4$ рабочих больше, чем в той части, которая работала на малом поле. Когда заливка большого катка закончилась, часть бригады, которая была на малом поле, ещё работала. Какое наибольшее число рабочих могло быть в порядке?

Точка $O$ является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$ со сторонами $BC=8$ и $AC=4$. Найдите длину стороны $AB$, если длина вектора $4\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}-3\overrightarrow{OC}$ равна $10$.

Решите в действительных числах систему уравнений:\[\begin{cases}a+c=4;\\ac+b+d=6;\\ad+bc=5;\\bd=2.\end{cases}\]

Решите уравнение $\arcsin\dfrac{x\sqrt{11}}{2\sqrt{21}}+\arcsin\dfrac{x\sqrt{11}}{4\sqrt{21}}=\arcsin\dfrac{5x\sqrt{11}}{8\sqrt{21}}$.

При каких значениях параметра $a$ уравнение\[\log_2^2x+(a-6)\log_2x+9-3a=0\]имеет ровно два корня, один из которых в четыре раза больше, чем другой?

В треугольнике $ABC$ сторона $AC=42$. Биссектриса $CL$ делится точкой пересечения биссектрис треугольника в отношении $2:1$, считая от вершины. Найдите длину стороны $AB$, если радиус вписанной в треугольник $ABC$ окружности равен $14$.

Функция $F$ определена на множестве троек целых чисел и принимает действительные значения. Известно, что для любых четырёх целых чисел $a$, $b$, $c$ и $n$ выполняются равенства $F(na,nb,nc)=n\cdot F(a,b,c)$, $F(a+n,b+n,c+n)=F(a,b,c)+n$, $F(a,b,c)=F(c,b,a)$. Найдите $F(58,59,60)$.

Пусть $B$ — множество действительных чисел, не содержащее $0$ и $1$. Известно, что если $b\in B$, то $\dfrac{1}{b}\in B$ и $1-\dfrac{1}{b}\in B$. Может ли в $B$ быть ровно $1000$ элементов?