Объединённая межвузовская математическая олимпиада (ОММО)

Сумма первых трёх членов арифметической прогрессии, а также сумма первых шести её членов — натуральные числа. Кроме того, её первый член $d_1$ удовлетворяет неравенству $d_1\geqslant\dfrac{1}{2}$. Какое наименьшее значение может принимать $d_1$?

Даша написала на доске числа $9, 10, 11, \ldots, 22$, а потом стёрла одно или несколько из них. Оказалось, что оставшиеся на доске числа нельзя разбить на несколько групп так, чтобы суммы чисел в группах были равны. Какое наибольшее значение может иметь сумма оставшихся на доске чисел?

В хирургическом отделении 4 операционных: I, II, III и IV. Утром они все были пусты. В какой-то момент началась операция в операционной I, через некоторое время — в операционной II, ещё через некоторое время — в III, а потом и в IV.
Закончились все четыре операции одновременно, и суммарная их продолжительность составила 2 часа 32 минуты. За 30 минут до момента завершения всех операций суммарная продолжительность уже идущих составляла 52 минуты, а ещё за 10 минут до этого — 30 минут. Продолжительности операций в каких операционных можно определить по этим данным, а в каких — нельзя?

В треугольнике $ABC$ длины сторон равны $4$, $5$ и $\sqrt{17}$. Найдите площадь фигуры, состоящей из тех и только тех точек $X$ внутри треугольника $ABC$, для которых выполняется условие $XA^2+XB^2+XC^2\leqslant 21$.

Решите уравнение: $4\left(x^4+3x^2+3\right)\left(y^4-7y^2+14\right)=21$.

Вычислите\[\operatorname{tg}\frac{\pi}{43}\cdot\operatorname{tg}\frac{2\pi}{43}+\operatorname{tg}\frac{2\pi}{43}\cdot\operatorname{tg}\frac{3\pi}{43}+\ldots+\operatorname{tg}\frac{k\pi}{43}\cdot\operatorname{tg}\frac{(k+1)\pi}{43}+\ldots+\operatorname{tg}\frac{2019\pi}{43}\cdot\operatorname{tg}\frac{2020\pi}{43}.\]

При каком наибольшем значении параметра $a$ коэффициент при $x^4$ в разложении многочлена $\left(1-2x+ax^2\right)^8$ будет равен $-1540$?

Дан равнобедренный треугольник $KLM$ ($KL=LM$) с углом при вершине, равным $114^\circ$. Точка $O$ расположена внутри треугольника $KLM$ так, что $\angle OMK=30^\circ$, а $\angle OKM=27^\circ$. Найдите величину угла $\angle LOM$.

Функция $g$ определена на целых числах и принимает целые значения, причём $g(x)\neq x$ для каждого целого $x$. Назовём число $a$ красивым, если для любого целого числа $x$ выполнено $g(x)=g(a-x)$. Может ли каждое из чисел $739$ и $741$ быть красивым?

Вася смастерил из стеклянных стержней призму. Призма имеет $171$ боковое ребро и столько же рёбер в каждом из оснований. Вася задумался: «Можно ли параллельно перенести каждое из $513$ рёбер призмы так, чтобы они образовали замкнутую ломаную в пространстве?» Возможна ли реализация Васиной задумки?