Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

Какое число окажется на 2022-м месте в бесконечной последовательности $6, 7, 8, 9, 10, \ldots$, если в ней удалить все квадраты и кубы каких-либо натуральных чисел (то есть удалить числа $8=2^3$, $9=3^2$, $16=4^2$, $\ldots$)?

Решите неравенство $\left(8x^3+4x^2-18x-9\right)\cdot\arccos(x-1)\leqslant\arccos\left(\frac{1}{4\cos40^\circ}+\frac{\sqrt3}{4\cos50^\circ}\right)$.

Среди всех вписанных четырёхугольников найдите четырёхугольник $ABCD$ с наименьшим периметром, в котором $AB=BC=CD$ и все попарные расстояния между точками $A$, $B$, $C$ и $D$ выражаются целыми числами. Чему при этом равен радиус описанной вокруг $ABCD$ окружности?

Последовательность $a_n$ задана формулами $a_1=\frac{4043}{2022}$, $a_{n+1}=a_n^3-3a_n^2+3a_n$. Найдётся ли натуральное число $n$ такое, что $|a_n|\leqslant\frac{2022}{2021}$? Обоснуйте свой ответ.

В треугольной пирамиде $SABC$ в основании лежит равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с гипотенузой $AC$. Боковые грани $SAB$ и $SAC$ перпендикулярны плоскости $ABC$. Сфера радиусом, равным $AC$, с центром в точке $S$ делит пирамиду на две части. Найдите объём большей из этих частей, если $SA=AB=2$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых множество решений неравенства \[ \left|x^3+2x^2+x+a\right|+\left|x^3-2x^2+x-a\right|\lt 4x^2+8x \] представляет собой на числовой прямой промежуток длиной 1.