Олимпиада «Росатом»

При каких $a$

1. уравнение $f(f(x))=x$ имеет бесконечное число решений;
2. уравнение $f(f(f(f(x))))=x$ имеет бесконечное число решений

для функций вида \[ f(x)=\dfrac{ax-5}{x+a-2}? \]

Каждое из четырех чисел $\frac12$; $\frac12$; $\frac32$; $2$ является результатом одной из четырех арифметических операций $\sin x+\sin y$, $\sin x-\sin y$, $\sin x\cdot\sin y$, $\sin x:\sin y$ над числами $\sin x$, $\sin y$ для некоторых $x$ и $y$. Найти все допустимые для этого пары $(x;y)$.

При каких $a$ решение $(x,y,z)$ системы \[ \begin{cases} x+2y=a,\\ 2y+3z=a+1,\\ x+3z=5 \end{cases} \] удовлетворяет уравнению $(x-1)^2+(y+2)^2+(z+2)^2=19$? Найти эти решения.

Найти многочлен $P(x)$ степени $2020$, для которого $P(5)=2019$, $P(6)=2021$ и $P(4+x)=P(8-x)$ для всех $x$.

Точки $M$, $N$, $P$ — основания высот, опущенных из вершин треугольника $ABC$ с углами $45^\circ$, $60^\circ$, $75^\circ$ на его стороны. Найти отношение площадей треугольников $MNP$ и $ABC$.