Всероссийская олимпиада школьников по математике

а) Натуральное число $n$ меньше 120. Какой наибольший остаток может давать число 209 при делении на $n$?
б) Натуральное число $n$ меньше 90. Какой наибольший остаток может давать число 209 при делении на $n$?

Действительное число $a$ таково, что из двух уравнений \[5+|x-2|=a\quad\text{и}\quad 7-|2x+6|=a\] одно имеет ровно один корень, а другое — ровно два корня. Чему может быть равно $a$? Укажите все возможные варианты.

На доске написаны натуральные числа $a$, $b$, $c$, $d$. Известно, что среди шести сумм \[a+b,\quad b+c,\quad c+d,\quad d+a,\quad a+c,\quad b+d\] три равны 23, а три других равны 34.
1. Чему равно $a+b+c+d$?
2. Чему равно наименьшее из чисел $a$, $b$, $c$, $d$?

Дан параллелограмм $ABCD$, точка $M$ — середина стороны $BC$. На стороне $AD$ нашлась точка $K$ такая, что $BK=BM$ и четырёхугольник $KBMD$ является вписанным.
1. Чему равна длина отрезка $MD$, если $AD=17$?
2. Сколько градусов составляет угол $KMD$, если $\angle BAD=46^\circ$?

Однажды зимой 43 ребёнка бросались снежками. Каждый из них бросил ровно один снежок в кого-то другого. Известно, что:

• первый бросил снежок в того, кто бросил снежок во второго,
• второй бросил снежок в того, кто бросил снежок в третьего,
• …
• сорок третий бросил снежок в того, кто бросил снежок в первого.

Какой номер у того, кто бросил снежок в третьего?

Пару натуральных чисел $(a,p)$ назовём хорошей, если число $a^3+p^3$ делится на $a^2-p^2$, причём $a\gt p$.
1. Укажите любое возможное значение $a$, для которого пара $(a,13)$ — хорошая.
2. Найдите количество хороших пар, для которых $p$ — простое число, меньшее 20.

Карлсон за один приём пищи может съесть не более 5 кг варенья. Если он открывает новую банку варенья, то он обязан съесть её полностью за этот приём пищи. (Карлсон не будет открывать новую банку, если ему придётся съесть более 5 кг варенья вместе с только что съеденным.)
У Малыша есть несколько банок малинового варенья общей массой 50 кг, каждая из них весит не более 1 кг. За какое наименьшее количество приёмов пищи Карлсон гарантированно сможет съесть всё варенье?

Дан треугольник $ABC$. Пусть точка $I$ — центр его вписанной окружности, а точки $P$ и $Q$ — середины сторон $AB$ и $AC$ соответственно. Оказалось, что $\angle PIQ+\angle BIC=180^\circ$. Найдите длину отрезка $BC$, если $AB=20$ и $AC=14$.