Всероссийская олимпиада школьников по математике

Квадратный трехчлен $f(x)=ax^2+bx+c$ имеет два различных вещественных корня $x_1$ и $x_2$. Известно, что $f(x_1+x_2)=2025$. Чему может равняться $c$?

В стране 30 городов и 30 двусторонних авиалиний, соединяющих города по циклу. Можно ли добавить дополнительно еще 10 авиалиний так, чтобы после этого из любого города можно было добраться до любого другого не более чем за 4 перелета?

Положительные числа $a$, $b$, $c$ таковы, что \[ a^2b+b^2c+c^2a=2\quad\text{и}\quad ab^2+bc^2+ca^2=4. \] Докажите, что из чисел $a$, $b$, $c$ какие-то два отличаются более чем на 2.

Можно ли на бесконечной клетчатой плоскости отметить конечное число узлов сетки так, чтобы было отмечено не менее двух точек, и для любой пары отмеченных точек нашлась бы отмеченная точка, равноудаленная от них?

Высоты $BD$ и $CE$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$, высоты треугольника $ADE$ пересекаются в точке $F$, точка $M$ — середина стороны $BC$. Докажите, что $BH+CH\geqslant 2FM$.

Изначально на табло горит число 0. При нажатии на кнопку число на табло изменяется на 50 или 51. На кнопку нажали 2025 раз. Могло ли после этого на табло гореть число 25, если известно, что на табло не появлялись более чем двузначные числа, а также не появлялись отрицательные числа?

Дана трапеция $ABCD$. Известно, что $\angle DAB=\angle ABC=90^\circ$, а биссектрисы углов $C$ и $D$ пересекаются в точке $E$, лежащей внутри трапеции. Докажите, что описанные окружности треугольников $ABE$ и $CDE$ касаются.

В клетчатом прямоугольнике $2\times100$ каждую клетку красят в белый или черный цвет. Доминошкой будем называть клетчатый прямоугольник $1\times2$ или $2\times1$. Оказалось, что существует единственный способ разбить данный прямоугольник $2\times100$ на доминошки так, чтобы каждая доминошка покрывала хотя бы 1 черную клетку. Какое наибольшее количество клеток могло быть покрашено в черный цвет?

Назовем натуральное число однобоким, если оно больше 1, и все его простые делители заканчиваются на одну и ту же цифру. (Например, числа 19 и $117=3\cdot3\cdot13$ — однобокие, а число $682=2\cdot11\cdot31$ — нет.) Существует ли возрастающая арифметическая прогрессия с разностью, не превышающей 2025, состоящая из 150 натуральных чисел, каждое из которых — однобокое?

На графике функции $y=x^2$ отметили 1000 различных точек, абсциссы которых — целые числа из отрезка $[0;100\,000]$. Докажите, что можно выбрать шесть различных отмеченных точек $A$, $B$, $C$, $A'$, $B'$, $C'$ таких, что площади треугольников $ABC$ и $A'B'C'$ равны.