Всероссийская олимпиада школьников по математике

На прямой дороге стоят школа и дома Ани и Бори. Каждый день Аня выходит из дома в 8:00 и идет в школу. Однажды Боря выбежал из дома в школу в 8:00 и догнал Аню за 30 минут. На следующий день он выбежал в 8:10 и догнал Аню за 40 минут. В какое время ему надо выбежать, чтобы встретить Аню на выходе из ее дома? (Скорость Ани всегда постоянна, скорость Бори тоже постоянна.)

В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC$) проведена биссектриса $CD$. На основании $AC$ отмечена точка $F$ так, что $BD=CF$. Точка $E$ выбрана таким образом, что четырехугольник $CDEF$ — параллелограмм. Докажите, что $BE=BF$.

Даны квадратные трехчлены $P(x)$ и $Q(x)$; обозначим $p_n=P(n)$ и $q_n=Q(n)$. Раз в минуту Саша рисует на координатной плоскости прямую:

• на первой минуте — прямую с уравнением $y=p_1x+q_1$,
• на второй — с уравнением $y=p_2x+q_2$,
• $\ldots$,
• на $i$-й минуте — с уравнением $y=p_ix+q_i$.

Через некоторое время Саша нашел три нарисованные прямые, которые проходят через одну точку. Докажите, что все нарисованные прямые проходят через одну точку.

В каждой клетке доски $2\times200$ лежит по рублевой монете. Даша и Соня играют, делая ходы по очереди, начинает Даша. За один ход можно выбрать любую монету и передвинуть ее: Даша двигает монету на соседнюю по диагонали клетку, Соня — на соседнюю по стороне. Если две монеты оказываются в одной клетке, одна из них тут же снимается с доски и достается Соне. Соня может остановить игру в любой момент и забрать все полученные деньги. Какой наибольший выигрыш она может получить, как бы ни играла Даша?

Найдите все такие пары целых чисел $m$ и $n\gt 2$, что \[ \bigl((n-1)!-n\bigr)\cdot(n-2)!=m(m-2). \] Напомним, что $k!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot k$ — произведение всех натуральных чисел от 1 до $k$.

Саша взял кусок нити. Он сложил ее пополам, затем еще раз пополам, и так 10 раз. Затем он взял ножницы и разрезал полученную конструкцию в одном месте (таким образом, он перерезал нить в 1024 местах). В итоге нить распалась на куски. Оказалось, что длины этих кусков принимают лишь два различных значения, наименьшее из которых равно 10 см. Найдите все возможные значения длины исходной нити.

Пусть на доске написаны несколько целых чисел (некоторые из которых могут быть равными). Скажем, что эти числа образуют удачный набор, если их нельзя разбить на две непустые группы так, чтобы произведение суммы чисел в одной группе и суммы чисел в другой было положительным. Учитель написал на доске несколько целых чисел. Докажите, что дети могут дописать к имеющимся еще ровно одно целое число так, чтобы полученный набор оказался удачным.

На столе по кругу выложили 100 двухрублевых и $N$ пятирублевых монет в некотором порядке. Известно, что выбрав из круга несколько подряд идущих монет, невозможно получить сумму ровно в 52 рубля. Найдите наибольшее возможное значение числа $N$.

На столе стоят 12 сосудов, выстроенных в 4 ряда по 3 сосуда в каждом. В каждый сосуд налито некоторое (возможно, нулевое) количество воды. Известно, что суммарное количество воды в каждом ряду равно 1 л. При каких $\alpha$ можно утверждать, что на столе найдутся два сосуда, количества воды в которых отличаются не более чем на $\alpha$ л?

Пусть $M$ — середина стороны $BC$ треугольника $ABC$. На продолжении стороны $AB$ за точку $B$ нашлась такая точка $D$, что $\angle ADM=\angle ACM=30^\circ$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ACD$. Найдите угол $OBC$.