Всероссийская олимпиада школьников по математике

Внутри выпуклого пятиугольника отметили точку и соединили её со всеми вершинами. Какое наибольшее число из десяти проведённых отрезков (пяти сторон и пяти отрезков, соединяющих отмеченную точку с вершинами пятиугольника) может иметь длину 1?

В каждую клетку таблицы $1001\times1001$ поставили 0 или 1. Оказалось, что в любом столбце нулей больше, чем единиц. Обязательно ли найдутся два столбца таких, что число строк, в пересечениях которых с этими двумя столбцами стоят только нули, больше числа строк, в пересечениях которых с этими двумя столбцами стоят только единицы?

Дан неравнобедренный треугольник $ABC$, в котором $\angle B=135^\circ$. Пусть $M$ — середина отрезка $AC$. Точка $O$ — центр окружности $\Omega$, описанной около треугольника $ABC$. Луч $BM$ вторично пересекает окружность $\Omega$ в точке $D$. Докажите, что центр окружности $\Gamma$, описанной около треугольника $BOD$, лежит на прямой $AC$.

Изначально на доску выписали числа $1-\sqrt{2}$, $\sqrt{2}$ и $1+\sqrt{2}$. Каждую минуту с доски стираются все три написанных на ней числа $x$, $y$ и $z$, а вместо них на доску записываются числа $x^2+xy+y^2$, $y^2+yz+z^2$ и $z^2+zx+x^2$. Могут ли в некоторый момент все три числа на доске оказаться рациональными?

Назовём лодочкой трапецию с основаниями 1 и 3, получающуюся приклеиванием к противоположным сторонам единичного квадратика двух треугольничков (полуклеток). В квадрате $100\times100$ расположена невидимая лодочка (её можно поворачивать, она не выходит за границы квадрата, её средняя клетка целиком лежит на одной из клеток квадрата). Одним выстрелом можно накрыть любую треугольную половинку клетки. Если выстрел пересекается с внутренностью лодочки (т. е. пересечение треугольника выстрела с лодочкой имеет ненулевую площадь), то она считается потопленной. Какого наименьшего количества выстрелов достаточно, чтобы наверняка потопить лодочку?

Петя выбрал натуральное число $n$ и выписал на доску следующие $n$ дробей: \[\frac{0}{n},\ \frac{1}{n-1},\ \frac{2}{n-2},\ \frac{3}{n-3},\ \ldots,\ \frac{n-1}{n-(n-1)}.\] Пусть число $n$ делится на натуральное число $d$. Докажите, что среди выписанных дробей найдётся дробь, равная числу $d-1$.

Функция $f(x)$, заданная на всей числовой оси, при всех действительных $x$ и $y$ удовлетворяет условию \[f(x)+f(y)=2f\left(\frac{x+y}{2}\right)f\left(\frac{x-y}{2}\right).\] Верно ли, что функция $f(x)$ обязательно чётная?

Докажите, что найдётся такое натуральное число $n\gt 10^{2018}$, что сумма всех простых чисел, меньших $n$, взаимно проста с $n$.

В компании 100 детей, некоторые дети дружат (дружба всегда взаимна). Известно, что при выделении любого ребёнка оставшихся 99 детей можно разбить на 33 группы по три человека так, чтобы в каждой группе все трое попарно дружили. Найдите наименьшее возможное количество пар дружащих детей.

На сфере $\omega_1$ отмечена фиксированная точка $A$, а на сфере $\omega_2$ — фиксированная точка $B$. На сфере $\omega_1$ выбирается переменная точка $X$, а на сфере $\omega_2$ — переменная точка $Y$ так, что $AX\parallel BY$. Докажите, что середины всех построенных таким образом отрезков $XY$ лежат на одной сфере.