Всероссийская олимпиада школьников по математике

Найдите наибольшее натуральное число $n$, при котором $(7!)!$ делится на $n!$. (Здесь $k!$ означает произведение $1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot k$.)

Саша и Маша пришли в магазин. Саша купил 3 пакета молока, 7 пачек творога и 5 йогуртов. Маша купила 2 пакета молока, 10 пачек творога и 6 йогуртов. Саша потратил на всё 980 рублей, а Маша потратила 1160 рублей. Сколько суммарно стоит один пакет молока, одна пачка творога и один йогурт?

Внутри трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ отметили точку $O$. Оказалось, что \[AO=BO=CO=BC\quad\text{и}\quad DA=DO=DC.\] Сколько градусов составляет угол $BAO$?

В компанию «Рожки и Лапки» устроилось некоторое количество тружеников и 310 лентяев. Каждый день на работу приходило по 50 человек, причём в конце рабочего дня 25 из них говорили: «Сегодня на работу пришло ровно 20 лентяев». Известно, что труженики всегда говорили правду, а лентяи всегда лгали. Через $n$ дней оказалось, что каждый из лентяев сходил на работу ровно 1 раз.
1. Найдите наибольшее возможное значение $n$.
2. Найдите наименьшее возможное значение $n$.

У Пети есть три палочки, длины которых равны $a$ см, $b$ см и $c$ см. Известно, что числа $a$, $b$ и $c$ натуральные, различные, и $ac=b^2$. Петя смог сложить из своих палочек треугольник.
1. Какой наименьший периметр мог быть у этого треугольника?
2. Пусть $b=72$. Какой периметр мог быть у этого треугольника? Укажите все варианты в любом порядке.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ провели высоту $CH$. На гипотенузе отметили точки $X$ и $Y$, такие что $CX$ и $CY$ — биссектрисы углов $BCH$ и $HCA$ соответственно. Найдите, чему равна длина стороны $AB$, если известно, что периметр треугольника $ABC$ равен 44, а длина отрезка $XY$ равна 6.

Найдите сумму цифр числа \[3\cdot{\underbrace{33\ldots3}_{100}}^3+2\cdot{\underbrace{11\ldots1}_{100}}^2+{\underbrace{55\ldots5}_{100}}^2+\underbrace{33\ldots3}_{100}.\]

Новая шахматная фигура гусь может ходить либо на одну клетку влево, либо на две клетки вправо и одну вверх, либо на две клетки вверх и одну вправо. Возможные ходы гуся, стоящего в клетке Г, отмечены на рисунке крестиками. Гусь бьёт так же, как и ходит.
Несколько гусей стоят в клетках доски $8\times8$ так, что никакой гусь не бьёт другого гуся, при этом любая незанятая клетка бьётся хотя бы одним гусём. Сколько гусей может стоять на доске? Укажите все возможные варианты в любом порядке.