Всероссийская олимпиада школьников по математике

У менялы на базаре есть много ковров. Он согласен взамен ковра размера $a\times b$ дать либо ковёр размера $\frac{1}{a}\times\frac{1}{b}$, либо два ковра размеров $c\times b$ и $\frac{a}{c}\times b$ (при каждом таком обмене число $c$ клиент может выбрать сам). Путешественник рассказал, что изначально у него был один ковёр, стороны которого превосходили 1, а после нескольких таких обменов у него оказался набор ковров, у каждого из которых одна сторона длиннее 1, а другая — короче 1. Не обманывает ли он? (По просьбе клиента меняла готов ковёр размера $a\times b$ считать ковром размера $b\times a$.)

Окружность $\omega$ касается сторон угла $BAC$ в точках $B$ и $C$. Прямая $\ell$ пересекает отрезки $AB$ и $AC$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Окружность $\omega$ пересекает $\ell$ в точках $P$ и $Q$. Точки $S$ и $T$ выбраны на отрезке $BC$ так, что $KS\parallel AC$ и $LT\parallel AB$. Докажите, что точки $P$, $Q$, $S$ и $T$ лежат на одной окружности.

Саша выбрал натуральное число $N\gt 1$ и выписал в строчку в порядке возрастания все его натуральные делители: $d_1\lt \ldots\lt d_s$ (так что $d_1=1$ и $d_s=N$). Затем для каждой пары стоящих рядом чисел он вычислил их наибольший общий делитель; сумма полученных $s-1$ чисел оказалась равной $N-2$. Какие значения могло принимать $N$?

Из клетчатого бумажного квадрата $100\times100$ вырезали по границам клеток 1950 двуклеточных прямоугольников. Докажите, что из оставшейся части можно вырезать по границам клеток четырёхклеточную фигурку вида (см. рисунок) — возможно, повёрнутую. (Если такая фигурка уже есть среди оставшихся частей, считается, что её получилось вырезать.)

Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составлены девять (не обязательно различных) девятизначных чисел; каждая из цифр использована в каждом числе ровно один раз. На какое наибольшее количество нулей может оканчиваться сумма этих девяти чисел?

Квадрат разбит на $n^2\geqslant4$ прямоугольников $2(n-1)$ прямыми, из которых $n-1$ параллельны одной стороне квадрата, а остальные $n-1$ — другой. Докажите, что можно выбрать $2n$ прямоугольников разбиения таким образом, что для любых двух выбранных прямоугольников один из них можно поместить в другой (возможно, предварительно повернув).

Окружность $\omega$ вписана в треугольник $ABC$, в котором $AB\lt AC$. Вневписанная окружность этого треугольника касается стороны $BC$ в точке $A'$. Точка $X$ выбирается на отрезке $A'A$ так, что отрезок $A'X$ не пересекает $\omega$. Касательные, проведённые из $X$ к $\omega$, пересекают отрезок $BC$ в точках $Y$ и $Z$. Докажите, что сумма $XY+XZ$ не зависит от выбора точки $X$.

Сумма положительных чисел $a$, $b$, $c$ и $d$ равна 3. Докажите неравенство \[\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}\leqslant\frac{1}{a^2b^2c^2d^2}.\]