Всероссийская олимпиада школьников по математике

Сначала на тарелке лежат 75 конфет. Петя и Вася по очереди берут из тарелки любое натуральное количество конфет до тех пор, пока конфет на тарелке не останется. Начинает Петя. При каком наименьшем $k$ Петя может играть так, чтобы гарантировать, что в конце игры количества конфет у мальчиков отличаются не более чем на $k$? (Во время игры мальчики конфеты не едят.)

Назовём натуральное число $n$ странным, если существуют такие попарно различные натуральные числа $a$, $b$, $c$, $d$ и $e$, большие 1, что \[ n=a^{a^a}=b^{b^c}=d^{e^e}. \] Конечно или бесконечно количество странных чисел? (Напомним, что $x^{y^z}$ означает число, получившееся в результате возведения числа $x$ в степень $y^z$.)

Дан неравнобедренный треугольник $ABC$, в котором $\angle A=60^\circ$. На стороне $BC$ отмечены точки $X$ и $Y$ таким образом, что $2BX=AB$ и $2CY=AC$. Докажите, что существует окружность, проходящая через точки $X$ и $Y$, которая касается вписанной и одной из вневписанных окружностей треугольника $ABC$.

На олимпиаду приехало несколько участников из $n\gt 1$ регионов, некоторые из них дружат (дружба всегда взаимна). Выяснилось, что для произвольной рассадки нескольких (хотя бы трёх) участников за круглым столом, при которой любые два соседа дружат, участников из каждого региона за столом окажется не более половины общего числа детей за столом. Докажите, что участников можно рассадить по $n$ кабинетам так, чтобы любые два друга оказались в разных кабинетах.

У Кати есть $2n$ катушек с лентами ($n$ — натуральное число). Изначально на катушках намотано $1^2, 2^2, \ldots, (2n)^2$ дециметров ленты соответственно. Каждый час Катя выбирает натуральное число $i$ и отрезает по $i$ дециметров ленты от всех катушек, на которых осталось не менее $i$ дециметров ленты. Через некоторое время все катушки, на которых изначально было нечётное количество дециметров ленты, оказались пустыми. Докажите, что в этот момент длина оставшейся ленты на каждой из остальных катушек меньше $4n$ дециметров.

Точка $O$ — центр окружности, описанной около остроугольного неравнобедренного треугольника $ABC$. Из точки $A$ опустили перпендикуляры $AP$ и $AQ$ на продолжения отрезков $BO$ и $CO$ за точку $O$. Окружность с центром $T$, проходящая через точки $P$ и $Q$, касается отрезка $BC$. Докажите, что $TO\parallel BC$.

Пусть $n$ — нечётное натуральное число. Дана таблица $n\times n$. Расстоянием между двумя клетками таблицы назовём наименьшее число шагов, за которое можно добраться от одной клетки до другой, переходя каждый раз в соседнюю по стороне клетку (так, расстояние между клетками, соседними по стороне, равно 1). $R$ клеток таблицы окрашены в красный цвет, а другие $B$ клеток — в синий. Известно, что любая прямая, соединяющая центры красной и синей клеток, не параллельна ни одной из диагоналей таблицы. Кроме того, расстояние между любыми красной и синей клетками не равно $n$. Докажите, что $\sqrt{R}+\sqrt{B}\leqslant n$.

Дан треугольник с различными натуральными длинами сторон $a$, $b$ и $c$. Докажите, что хотя бы одно из чисел $ab+1$, $bc+1$ и $ca+1$ не является полным квадратом.