Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой и сложностью, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 10
Срединный перпендикуляр, проведенный к диагонали прямоугольника, делит его сторону на части, одна из которых равна меньшей стороне прямоугольника. Найти угол между диагоналями прямоугольника.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике $ABC$ из вершины прямого угла $C$ проведены медиана $CM$ и высота $CH$. Найти $HM$, если гипотенуза $AB=8\sqrt2$, $\angle ABC=22{,}5^{\circ}$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $CK$, причем $AC>BC$. Доказать, что угол $AKC$ — тупой.
Ответ:
Решение:
Теорема о вписанном угле (формулировка, доказательство для случаев, когда центр окружности находится на стороне угла; находится внутри угла).
Ответ:
Решение:
Дан вписанный четырёхугольник $ABCD$. Продолжения противоположных сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $K$, сторон $BC$ и $AD$ — в точке $L$. Докажите, что биссектрисы углов $BKC$ и $BLA$ перпендикулярны.
Ответ:
Решение:
Окружность проходит через вершины $A$ и $C$ треугольника $ABC$, пересекая сторону $AB$ в точке $E$ и сторону $BC$ в точке $F$. Угол $AEC$ в 5 раз больше угла $BAF$, а угол $ABC$ равен $72^{\circ}$. Найдите радиус окружности, если $AC=6$.
Ответ:
Решение:
На окружности выбраны точки $A$, $B$, $C$ и $D$ так, что дуги $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$ относятся как $5 : 2 : 1 : 10$ соответственно.
а) Найти угол между хордами $AC$ и $BD$.
б) Найти угол между прямыми $AD$ и $BC$.
а) Найти угол между хордами $AC$ и $BD$.
б) Найти угол между прямыми $AD$ и $BC$.
Ответ:
Решение:
На окружности выбраны точки $A$, $B$, $C$ и $D$ так, что дуги $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$ относятся как $3 : 2 : 13 : 7$ соответственно.
а) Найти угол между хордами $AC$ и $BD$.
б) Найти угол между прямыми $AD$ и $BC$.
а) Найти угол между хордами $AC$ и $BD$.
б) Найти угол между прямыми $AD$ и $BC$.
Ответ:
Решение:
Окружность разделена точками $A$, $B$, $C$, $D$ так, что $\smile AB:\smile BC:\smile CD:\smile DA=2:3:5:6$. Проведены хорды $AC$ и $BD$, пересекающиеся в точке $M$. Найдите угол $AMB$.
Ответ:
Решение:
Точка $O$ — центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности. Прямая $BO$ вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке $P$.
а) Докажите, что $\angle POA=\angle PAO$.
б) Найдите площадь треугольника $APO$, если радиус описанной около треугольника $ABC$ окружности равен 10, $\angle BAC=75^{\circ}$, $\angle ABC=60^{\circ}$.
а) Докажите, что $\angle POA=\angle PAO$.
б) Найдите площадь треугольника $APO$, если радиус описанной около треугольника $ABC$ окружности равен 10, $\angle BAC=75^{\circ}$, $\angle ABC=60^{\circ}$.
Ответ:
Решение: