Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой и сложностью, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 15
Дан четырёхугольник $ABCD$, в котором $AB=AD$ и $\angle ABC=\angle ADC=90^{\circ }$. На сторонах $BC$ и $CD$ выбраны соответственно точки $F$ и $E$ так, что $DF \perp AE$. Докажите, что $AF \perp BE$.
Ответ:
Решение:
Даны точки $A(2;4)$, $B(6;-4)$ и $C(-8;-1)$. Найдите косинус угла между медианами $CM$ и $AK$ треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольнике $ABCD$ задано отношение сторон: $AB:AD=4:3$. На стороне $BC$ взята точка $M$ так, что $BM:CM=1:2$. На стороне $CD$ взята точка $K$ так, что $DK:CK=3:5$. Докажите, что $AK\perp DM$.
Ответ:
Решение:
Найти скалярное произведение $\overline{AB}\cdot\overline{AC}$, где $A$, $B$, $C$ — вершины равнобедренного треугольника, в котором $AB=BC$ и $AC=4$.
Ответ:
Решение:
Найти величину угла $\angle A$ в треугольнике $ABC$ с вершинами в точках $A(1,~4,~1)$, $B(2,~5,~-3)$, $C(-1,~-4,~3)$.
Ответ:
Решение:
На диагоналях $D_{1}A$, $A_{1}B$, $B_{1}C$, $C_{1}D$ граней куба $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ взяты соответственно точки $M$, $N$, $P$, $Q$, причём
$$
D_{1}M:D_{1}A=BN:BA_{1}=B_{1}P:B_{1}C=DQ:DC_{1}=\mu,
$$
а прямые $MN$ и $PQ$ взаимно перпендикулярны. Найдите $\mu$.
Ответ:
Решение:
$|\vec a|=1$, $|\vec b|=3$, $\angle(\vec a,~\vec b)=120^{\circ}$. Найти $\cos\angle(\vec a+3\vec b,~3\vec a-\vec b)$.
Ответ:
Решение:
$|\vec a|=2$, $|\vec b|=1$, $\angle(\vec a,~\vec b)=120^{\circ}$. Найти $\cos\angle(\vec a-3\vec b,~2\vec a+\vec b)$.
Ответ:
Решение:
Дан куб $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$. Точка $M$ — середина ребра $B_{1}C_{1}$. Найдите угол между прямыми $AC_{1}$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
На медиане $SM$ пирамиды $SABC$ взята точка $K$ так, что $SK:KM=3:1$. Через векторы $\vec{a}=\overline{AB}$, $\vec{b}=\overline{AC}$ и $\vec{c}=\overline{AS}$ выразить векторы $\overline{AK}$ и $\overline{SC}$. С помощью векторов найти угол между прямыми $AK$ и $SC$, если $AB=BC=AC=1$ и $SA=SB=SC=2$.
Ответ:
Решение:
На медиане $SM$ пирамиды $SABC$ взята точка $K$ так, что $SK:KM=1:3$. Через векторы $\vec{a}=\overline{AB}$, $\vec{b}=\overline{AC}$ и $\vec{c}=\overline{AS}$ выразить векторы $\overline{AK}$ и $\overline{SB}$. С помощью векторов найти угол между прямыми $AK$ и $SB$, если $AB=BC=AC=1$ и $SA=SB=SC=2$.
Ответ:
Решение:
а) Пусть $M$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC$, $O$ — произвольная точка. Докажите, что $$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}).$$
б) В тетраэдре $ABCD$ известно, что $AB=3$, $BC=4$, $AC=5$, $AD=DB=2$, $DC=4$. Найдите медиану тетраэдра, проведённую из вершины $D$.
Ответ:
Решение:
а) Пусть $M$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC$, $O$ — произвольная точка. Докажите, что $$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}).$$
б) Дан тетраэдр $ABCD$, в котором $AB=BD=3$, $AC=CD=5$, $AD=BC=4$. Найдите $AM$, где $M$ — точка пересечения медиан грани $BCD$.
Ответ:
Решение:
Дан куб $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$. На отрезках $AB_{1}$ и $BC_{1}$ взяты точки $P$ и $Q$, причём $AP:PB_{1}=C_{1}Q:QB=2:1$. Докажите, что отрезок $PQ$ перпендикулярен прямым $AB_{1}$ и $C_{1}B$, и найдите его длину, если ребро куба равно $\sqrt{3}$.
Ответ:
Решение:
Дан куб $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$. На отрезках $AB_{1}$ и $BC_{1}$ взяты точки $P$ и $Q$, причём $AP:PB_{1}=C_{1}Q:QB=2:1$. Докажите, что отрезок $PQ$ перпендикулярен прямым $AB_{1}$ и $C_{1}B$, и найдите его длину, если ребро куба равно $3$.
Ответ:
Решение: