Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой и сложностью, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 20
Точки $A(-3,-2)$ и $B(1,~1)$ — вершины равностороннего треугольника $ABC$. Найти координаты третьей вершины $C$. Рассмотреть оба варианта положения точки $C$. Указание. Задача сводится к тому, чтобы на срединном перпендикуляре к отрезку $AB$ найти две точки, удаленные от прямой $AB$ на расстояние, равное высоте треугольника.
Ответ:
Решение:
Точки $A(-3,-2)$ и $B(1,~1)$ — вершины равностороннего треугольника $ABC$. Найти координаты третьей вершины $C$. Рассмотреть оба варианта положения точки $C$.
Ответ:
Решение:
Точки $A(-3,1)$ и $B(0,~-3)$ — вершины равностороннего треугольника $ABC$. Найти координаты третьей вершины $C$. Рассмотреть оба варианта положения точки $C$.
Ответ:
Решение:
Точки $A(-3,-2)$ и $B(1,~1)$ — вершины равностороннего треугольника $ABC$. Найти координаты третьей вершины $C$. Рассмотреть оба варианта положения точки $C$.
Ответ:
Решение:
Точки $A(-3,1)$ и $B(0,~-3)$ — вершины равностороннего треугольника $ABC$. Найти координаты третьей вершины $C$. Рассмотреть оба варианта положения точки $C$.
Ответ:
Решение:
На отрезке $MN$, равном 8 дм, лежат точки $A$ и $B$ по разные стороны от середины $C$ отрезка $MN$, причем $CA=7$ см, $CB=0{,}24$ м. Найти длины отрезков $AN$ и $BN$.
Ответ:
Решение:
Точка $M$ — середина отрезка $EF$, длина которого равна $1{,}2$ м. От точки $M$, по разные стороны от нее, отложены два отрезка: $MP=1{,}6$ дм и $MQ=40$ см. Найти длины отрезков $EP$ и $QF$.
Ответ:
Решение:
Длина отрезка $AB$ равна 14 см. Найти на прямой $AB$ все такие точки $D$, для которых $DA=3\cdot DB$.
Ответ:
Решение:
Длина отрезка $AB$ равна 12 см. Найти на прямой $AB$ все такие точки $M$, для которых $MA=2\cdot MB$.
Ответ:
Решение:
Высоты параллелограмма, проведенные из одной вершины, образуют при пересечении с диагональю углы $30^{\circ}$ и $80^{\circ}$. Найти углы параллелограмма.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ даны стороны $AB=3\sqrt5$, $BC=2\sqrt{10}$ и высота $BH=6$. Найти две другие высоты треугольника.
Ответ:
Решение:
Хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$. Известно, что $AB=CD=9$, $\angle AMC=60^{\circ}$ и $AC=2\,BD$. Найти стороны треугольника $BMD$.
Ответ:
Решение:
На окружности выбраны точки $A$, $B$, $C$ и $D$ так, что дуги $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$ относятся как $5 : 2 : 1 : 10$ соответственно.
а) Найти угол между хордами $AC$ и $BD$.
б) Найти угол между прямыми $AD$ и $BC$.
а) Найти угол между хордами $AC$ и $BD$.
б) Найти угол между прямыми $AD$ и $BC$.
Ответ:
Решение:
Пусть $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, $\angle AOC=60^{\circ}$. Найдите угол $AMC$, где $M$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$.
Ответ:
Решение:
Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Точки $M$ и $N$ — середины $AB$ и $CD$ соответственно. Окружность, проходящая через точки $B$ и $C$, пересекает отрезки $BM$ и $CN$ в точках $P$ и $Q$ (отличных от концов отрезков) соответственно.
а) Докажите, что точки $M$, $N$, $P$ и $Q$ лежат на одной окружности.
б) Найдите $QN$, если отрезки $DP$ и $PC$ перпендикулярны, $AB=21$, $BC=4$, $CD=20$, $AD=17$.
а) Докажите, что точки $M$, $N$, $P$ и $Q$ лежат на одной окружности.
б) Найдите $QN$, если отрезки $DP$ и $PC$ перпендикулярны, $AB=21$, $BC=4$, $CD=20$, $AD=17$.
Ответ:
Решение:
Радиус цилиндра 37, высота 50. Найти угол, который с плоскостью основания цилиндра составляет плоскость, проходящая через хорды в окружностях верхнего и нижнего оснований цилиндра, если длины этих хорд 24 и 70. Рассмотреть оба варианта расположения такой плоскости.
Ответ:
Решение:
Радиус цилиндра 35, высота 50. Найти угол, который с плоскостью основания цилиндра составляет плоскость, проходящая через хорды в окружностях верхнего и нижнего оснований цилиндра, если длины этих хорд 42 и 56. Рассмотреть оба варианта расположения такой плоскости.
Ответ:
Решение:
Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно 9 и 32 от вершины $A$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB$, если $\displaystyle \cos\angle BAC=\frac{2\sqrt2}{3}$.
Ответ:
Решение:
В квадрате $ABCD$ на диагонали $BD$ и на сторонах $AB$ и $BC$ отметили соответственно точки $P, E$ и $F$ такие, что $BE = BF$, а прямая, проходящая через точку $P$ параллельно прямой $AC$, отсекает от квадрата треугольник, площадь которого равна площади четырёхугольника $EBFP$ и в четыре раза меньше площади квадрата.
a) Докажите, что если $BP \cdot BE = \sqrt{2}$, то $AB = 2$.
б) Найдите отношение площадей треугольников $EPF$ и $EBF$.
a) Докажите, что если $BP \cdot BE = \sqrt{2}$, то $AB = 2$.
б) Найдите отношение площадей треугольников $EPF$ и $EBF$.
Ответ:
Решение:
В окружность вписан четырехугольник $ABCD$, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке $E$. Прямая, проходящая через точку $E$ перпендикулярно прямой $AB$, пересекает сторону $CD$ в точке $M$.
а) Докажите, что $EM$ — медиана треугольника $CED$.
б) Найдите $EM$, если $AD = 8$, $AB = 4$ и угол $\angle CDB$ равен $60^{\circ}$.
а) Докажите, что $EM$ — медиана треугольника $CED$.
б) Найдите $EM$, если $AD = 8$, $AB = 4$ и угол $\angle CDB$ равен $60^{\circ}$.
Ответ:
Решение: