Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 306
На проволоку в форме окружности радиуса 6 нанизаны 5 одинаковых бусинок, равноотстоящих друг от друга. В некоторый момент времени 4 бусинки начали двигаться со скоростью $\pi/2$ (1/сек) в направлении против часовой стрелки, а оставшаяся бусинка — с той же скоростью в обратном направлении. После столкновения любых двух бусинок величина скорости их движения сохраняется, а направление мгновенно меняется на противоположное. Сколько столкновений произойдет между бусинками за 48 сек.?
Ответ:
Решение:
Найти зависимость от $n$ числа целых неотрицательных решений уравнения \[ x_1+x_2+\ldots+x_n=m \] при $m=2$ и $m=3$. При каком $n$ число решений для $m=3$ будет в четыре раза большим, чем число решений для $m=2$?
Ответ:
Решение:
Привокзальные часы имеют три электронных циферблата, которые показывают текущее время в часах, минутах и секундах соответственно. Очередные сутки начинаются, когда на табло часов светятся три нуля, а заканчиваются в $23$ часа $59$ минут $59$ секунд. Сколько раз в течение суток сумма числа часов и минут на них равняется числу секунд?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Найдите коэффициент $a_{2024}$ многочлена $P(x)=\left(1+x^{125}+x^{131}\right)^{18}$, если бы он был приведён в форму суммы одночленов вида $a_kx^k$, $k=0,2,3,\ldots,2358$.
Ответ:
Решение:
Сколько существует различных, целых, положительных, двенадцатиразрядных чисел, делящихся на 9, в записи которых используется две цифры 3 и 4?
Ответ:
Решение:
Для рентабельности работы таксопарк должен выпускать на линию не менее $12$ машин ежедневно. Городские власти, борясь за экологию, требуют, чтобы каждое городское такси работало не более $6$ дней в неделю. Какое минимальное число автомобилей должно быть в таксопарке, чтобы он был рентабельным и соблюдал экологию? Дни, когда автомобили не выходят на линию, определяет руководство таксопарка.
Ответ:
Решение:
На окружности отмечены $18$ точек и рядом с каждой из них написано число. Каждое число равно модулю разности двух соседних с ним чисел. Наибольшее из чисел равно единице. Найти их сумму.
Ответ:
Решение:
Можно ли множество из $2017$ чисел $\{\log_25,\log_26,\log_27,\ldots,\log_22021\}$ разбить на две части так, чтобы сумма чисел, попавших в одну из этих частей, отличалась от суммы чисел в другой не более, чем на $1$ (по абсолютному значению)?
Ответ:
Решение:
На собеседовании группе из $8$ претендентов предложили тест, содержащий $m$ вопросов. Сложность вопросов теста определялась условием того, что любая группа из $4$ претендентов, работая сообща, могла правильно ответить на все вопросы теста, при этом меньшее количество участников собеседования, объединившись в группу, обязательно допускали хотя бы одну ошибку. Найти наименьшее возможное при этих условиях значение $m$.
Ответ:
Решение:
Ученикам на входе в школу разрешалось брать из коробки любое количество карандашей. Позже выяснилось, что не менее 60% карандашей, полученных любой группой из десяти человек, оказывались у одного ученика из этой группы. Доказать, что в школе есть ученик, забравший более 58% карандашей, взятых всеми школьниками из коробки.
Ответ:
Решение:
В норе лисы проделаны ходы-туннели в форме сторон квадрата и его диагоналей. Лиса движется по ним не оборачиваясь, с постоянной скоростью, пробегая сторону квадрата за $6$ сек. Фокстерьер, проникнув в нору, может двигаться по ней со скоростью на $20\%$ большей, чем лиса и по ходу движения может видеть весь прямолинейный участок туннеля, в котором находится. Менять направление движения и останавливаться каждый из них может мгновенно, но только в вершинах квадрата или его центре. Существует ли стратегия передвижения собаки по туннелям, при которой она всегда догонит лису, независимо от того как та будет двигаться по норе? Оценить время погони. Задача математическая, поэтому лиса и собака — точки, ходы — отрезки прямых.
Ответ:
Решение:
В летнем лагере в первую смену отдыхали $57$ школьников. За время отдыха $27$ ребят читали книги, $25$ ловили рыбу, $26$ собирали грибы, при этом каждый школьник принял участие хотя бы в одном из этих дел. Известно, что $9$ из читающих ребят собирали грибы, $8$ грибников успели сходить на рыбалку. Сколько ребят читали книги, ходили на рыбалку, но не собирали грибы? Какое максимальное число ребят могли, при этих условиях, собирать грибы, но не читать книг и не ловить рыбу.
Ответ:
Решение:
Класс разделили на две команды «Знайки» и «Незнайки» и стали играть в игру «Вопросы и ответы». Правила игры простые: каждый игрок команды должен уметь задать по выбранной теме вопрос любому игроку другой команды и дать ответ на вопрос противника к нему адресованный. Учитель оценивает качество вопросов и ответов. В результате игры каждый член команды «Знайки» принял участие в игре ровно три раза (в форме вопроса или ответа), а каждый игрок команды «Незнайки» только два. Сколько учеников в классе, если на обед ходили $21$ ученик, а парт в классе $14$? (за партой могут сидеть не более двух учеников)
Ответ:
Решение:
Каждое из чисел $1,\,2,\,\ldots,\,39$ встречается в квадратной табличке $39\times39$ ровно $39$ раз. Сумма всех чисел, расположенных выше диагонали таблицы, в $3$ раза больше суммы чисел, находящихся под ней. Найти сумму чисел на диагонали.
Ответ:
Решение:
В мешке деда Мороза находится $30$ одинаковых по форме конфет в разных по цвету обертках: $5$ желтых, $10$ красных и $15$ синих. Петя, не заглядывая в мешок, вынимает из него несколько конфет. Какое максимальное количество конфет может взять Петя, чтобы быть уверенным в том, что в мешке останется не менее трех конфет одного цвета и не менее четырех — другого?
Ответ:
Решение:
Квадратное поле размером $1100\times1100$ метров разделено на $121$ огороженный загон в форме квадратов со стороной $100$ м. В каждом из загонов поселились зайцы. Количество зайцев, живущих в соседних (имеющих общую сторону) загонах, отличается не более чем на $5$. Докажите, что есть на поле загоны с одинаковым числом проживающих в них зайцев.
Ответ:
Решение:
Найти $x$, при которых числа $\log_2(6\sin x)$, $\log_{2\cos x}(6\sin x)$ и $\log_{2\cos x}4$ могут быть тремя последовательными членами геометрической прогрессии.
Ответ:
Решение:
Решить уравнение \[ \log_{\sin x}\sin2x+\log_{\sin2x}\sin3x+\log_{\sin3x}\sin x=\log_{\sin2x}\sin x+\log_{\sin3x}\sin2x+\log_{\sin x}\sin3x. \]
Ответ:
Решение:
Каждое из десяти положительных чисел равно квадрату суммы остальных девяти. Найдите сумму этих чисел.
Ответ:
Решение: