Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 385
Палочка разломана на 15 частей так, что ни из каких трёх частей нельзя сложить треугольник. Докажите, что среди частей есть такая, которая длиннее трети исходной палочки.
Ответ:
Решение:
Положительные числа $a$, $b$, $c$, $d$ таковы, что \[(a+b+2c)^2\gt d,\quad (b+c+2d)^2\gt a,\quad (c+d+2a)^2\gt b,\quad (d+a+2b)^2\gt c.\] Докажите, что $a+b+c+d\gt 1/4$.
Ответ:
Решение:
Есть 40 гирь. Веса любых двух отличаются не более чем на 45 кг. Любые десять из этих гирь можно разбить на две группы по пять гирь, суммы весов которых отличаются не более чем на 11 кг. Докажите, что найдутся две гири, веса которых отличаются не более чем на 1 кг.
Ответ:
Решение:
На доске написано четыре положительных числа. Докажите, что какие-то два из них отличаются меньше, чем на треть суммы двух остальных.
Ответ:
Решение:
Числа $x$, $y$, $z$ таковы, что \[ x\gt y^2+z^2,\quad y\gt z^2+x^2,\quad z\gt x^2+y^2. \] Докажите, что каждое из чисел $x$, $y$, $z$ меньше $1/2$.
Ответ:
Решение:
По кругу написаны 2015 положительных чисел. Сумма любых двух рядом стоящих чисел больше суммы обратных к двум следующим за ними по часовой стрелке. Докажите, что произведение всех этих чисел больше 1.
Ответ:
Решение:
Сумма неотрицательных чисел $a$, $b$, $c$ и $d$ равна 4. Докажите, что \[(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)\leqslant8.\]
Ответ:
Решение:
Положительные числа $a$, $b$, $c$ и $d$ не превосходят единицы. Докажите неравенство \[ \frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}\geqslant\frac{1}{4}+(1-a)(1-b)(1-c)(1-d). \]
Ответ:
Решение:
Неотрицательные числа $a$, $b$ и $c$ таковы, что $a^2+b^2+c^2=a+b+c$. Докажите, что \[\dfrac{(a-1)^2}{b+c+1}+\dfrac{(b-1)^2}{c+a+1}+\dfrac{(c-1)^2}{a+b+1}\leqslant\dfrac{3}{1+a+b+c}.\]
Ответ:
Решение:
Петя, Вася и Толя вернулись с рыбалки, на которой каждый из них поймал некоторое количество рыб (хотя бы одну). После рыбалки они стали хвастаться своими уловами. Петя сказал: «Я поймал рыб не меньше, чем каждый из остальных!». Вася сказал: «Я поймал рыб не меньше, чем Петя и Толя в сумме!». Толя сказал: «Я поймал на 25% больше рыб, чем Вася!». Позже выяснилось, что каждый из ребят преувеличил свой улов не более, чем в $a$ раз. Какое наименьшее значение могло принимать число $a$?
Ответ:
Решение:
Петя выбирает такие неотрицательные числа $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_{11}$, что их сумма равна 1. Вася расставляет их в ряд по своему усмотрению, считает произведения соседних чисел и выписывает на доску наибольшее из получившихся десяти произведений. Петя хочет, чтобы число на доске оказалось как можно больше, Вася хочет, чтобы оно было как можно меньше. Какое число окажется на доске при наилучшей игре Пети и Васи?
Ответ:
Решение:
Для каждой пары различных натуральных чисел $a$ и $b$, не больших 20, Петя нарисовал на доске прямую $y=ax+b$ (то есть он нарисовал прямые \[\begin{gathered} y=x+2,\quad \ldots,\quad y=x+20,\\ y=2x+1,\quad y=2x+3,\quad \ldots,\quad y=2x+20,\\ y=3x+1,\quad y=3x+2,\quad y=3x+4,\quad \ldots,\quad y=3x+20,\\ \ldots,\\ y=20x+1,\quad \ldots,\quad y=20x+19). \end{gathered}\] Вася нарисовал на той же доске окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Сколько Петиных прямых пересекает Васину окружность?
Ответ:
Решение:
Прямые $y=ax+b$, $y=bx+c$, $y=cx+d$, $y=dx+a$ ограничивают квадрат. Чему может равняться площадь этого квадрата (укажите все возможности)?
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$, в котором $AB=BC$. На стороне $BC$ нашлась такая точка $D$, что $CD=AC$. Точка $E$ на луче $DA$ такова, что $DE=AC$. Какой отрезок длиннее — $EC$ или $AC$?
Ответ:
Решение:
Три биссектрисы неравнобедренного треугольника пересекаются в точке $I$. Докажите, что каждое из расстояний от точки $I$ до вершин треугольника меньше длины средней по величине стороны треугольника.
Ответ:
Решение:
Докажите, что внутри любого неравностороннего треугольника $ABC$ можно отметить точку $D$ так, что сумма углов $ABD$, $BCD$ и $CAD$ будет меньше 60 градусов.
Ответ:
Решение:
Точки $D$ и $E$ лежат на продолжениях сторон $AB$ и $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ за точки $B$ и $C$ соответственно. Точки $M$ и $N$ — середины отрезков $AE$ и $DC$. Докажите, что $MN\gt AD/2$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ угол при вершине $A$ равен 45 градусам. Докажите, что периметр этого треугольника меньше удвоенной суммы его высот, опущенных из вершин $B$ и $C$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$, у которого угол $B$ меньше 120 градусов, медиана $BD$ короче половины стороны $AB$. Докажите, что эта медиана длиннее половины стороны $BC$.
Ответ:
Решение:
Два бегуна бегают с равными постоянными скоростями по диагоналям $AC$ и $BD$ соответственно квадрата $ABCD$. Добежав до конца диагонали, бегун сразу поворачивает обратно. Стартовали они одновременно из двух случайно выбранных точек своих диагоналей. Докажите, что найдётся момент, когда расстояние между бегунами будет строго меньше половины диагонали квадрата.
Ответ:
Решение: